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quation différentielle en $\varphi$ ne sera ainsi résoluble généralement que dans le cas où ce plus haut exposant est l’unité. Développons ce cas fort étendu.

Représentons l’équation différentielle en $y_{s}$ par la suivante

$0=\mathrm {V} +s\mathrm {T} ,$

$\mathrm {V}$ et $\mathrm {T}$ étant des fonctions linéaires de la variable principale $y_{s}$ et de ses différences, soit finies, soit infiniment petites. Si l’on fait

$y_{s}=\int \delta y\varphi dx,$

$\delta y_{s}$ étant égal à $x^{s}$ ou à $c^{-sx},$ elle deviendra

$0=\int \varphi dx\left(\mathrm {M} d\delta y+\mathrm {N} {\frac {d\delta y}{dx}}\right),$

$\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ étant des fonctions de $x\,;$ on aura donc, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&\mathrm {M} \varphi -{\frac {d(\mathrm {N} \varphi )}{dx}},\\0=&\mathrm {C} +\mathrm {N} \varphi \delta y.\end{aligned}}$

La première donne, en l’intégrant,

$\varphi =\mathrm {\frac {H}{N}} c^{\int \mathrm {\frac {M}{N}} dx},$

$\mathrm {H}$ étant une constante arbitraire. Supposons $\mathrm {C}$ nul dans la seconde équation ; $x=0$ ou $x=\infty$ sera l’une des limites de l’intégrale $\int \delta y\varphi dx,$ suivant que l’on prend $x^{s}$ ou $c^{-sx}$ pour $\delta y.$ On déterminera les autres limites en résolvant l’équation $0=\mathrm {N} \varphi \delta y.$

Appliquons à cette intégrale la méthode d’approximation du n^o 23. Si l’on désigne par $a$ la valeur de $x$ donnée par l’équation

$0=d(\mathrm {N} \varphi \delta y),$

et par $\mathrm {Q}$ ce que devient la fonction $\mathrm {N} \varphi \delta y,$ lorsqu’on y change $x$ en $a,$ on fera

$\mathrm {N} \varphi \delta y=\mathrm {Q} c^{-t^{2}}.$