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LIVRE PREMIER.
différences sont des fonctions rationnelles de
que l’on peut toujours rendre entières en faisant disparaître les dénominateurs. Si l’on désigne, comme ci-dessus, par
les variables principales de ces équations, et si l’on fait
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,\qquad y'_{s}=\int x^{s}\varphi 'dx,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e50ee2a28a5feea24046ce4423cbda36b15927)
on aura
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {dy_{s}}{ds}}=&\int x^{s}\varphi dx\log x,&{\frac {d^{2}y_{s}}{ds^{2}}}=&\int x^{s}\varphi dx(\log x)^{2},\qquad \ldots ,\\\Delta y_{s}=&\int x^{s}(x-1)\varphi dx,\qquad &\Delta ^{2}y_{s}=&\int x^{s}(x-1)^{2}\varphi dx,\qquad \ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\qquad \quad \ldots ,\\{\frac {dy'_{s}}{ds}}=&\int x^{s}\varphi 'dx\log x,&\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots .\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aac63964de6893c41dc296f0b2618b86a852ea88)
Les équations proposées prendront ainsi les formes suivantes :
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int x^{s}zdx,\qquad \mathrm {S} '=\int x^{s}z'dx,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bc9f559cb51a07d5f057eec9838f51c5b76076d)
En les traitant par la méthode précédente, on déterminera les valeurs de
en fonction de
, et les limites des intégrales ![{\displaystyle \int x^{s}\varphi dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1116704c7ec358b598e0e458585557f8fdcdce7)
![{\displaystyle \int x^{s}\varphi 'dx,\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01d893024ef8e9c8840eb3bbc11a23e7f0f937c1)
En faisant
![{\displaystyle y_{s}=\int c^{-sx}\varphi dx,\qquad y'_{s}=\int c^{-sx}\varphi 'dx,\qquad \ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e037b0d9f3d4b6f4227cafb4d590c6310e8111)
on parviendrait à des équations semblables. Dans plusieurs circonstances, ces formes de
seront plus commodes que les précédentes.
31. La principale difficulté que présente l’application de la méthode précédente consiste dans l’intégration des équations différentielles linéaires qui déterminent
en
Les degrés de ces équations ne dépendent point de ceux des équations aux différences en
ils dépendent uniquement des puissances les plus élevées de
dans leurs coefficients. En ne considérant donc qu’une seule variable
, l’équation différentielle en
sera d’un degré égal au plus haut exposant de
dans les coefficients de l’équation aux différences en
L’é-