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LIVRE PREMIER.

traitée de la même manière, donnera

$(a')\qquad \qquad \qquad \quad \;0=\mathrm {Z} '-{\frac {d(x\Delta \mathrm {Z} ')}{dx}}+{\frac {d^{2}(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} ')}{1.2dx^{2}}}-\ldots ,$

$(b')\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} '=\mathrm {C} '&+\delta y\left[x\Delta \mathrm {Z} '-{\frac {d(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} ')}{1.2dx}}+\ldots \right]\\&+{\frac {d\delta y}{dx}}\left({\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} '}{1.2}}-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

Les équations $\mathrm {S} ''=\int x^{s}z''dx,\ \mathrm {S} '''=\int x^{s}z'''dx,\ldots$ produiront des équations semblables, que nous désignerons par $(a''),(b'')\,;(a'''),(b''')\,;\ldots .$

Les équations $(a),(a'),(a''),\ldots$ détermineront les variables $\varphi ,\varphi ',$$\varphi '',\ldots$ en fonction de $x$, et les équations $(b),(b'),(b''),\ldots$ détermineront les limites dans lesquelles on doit prendre les intégrales $\int x^{s}zdx,$$\int x^{s}z'dx,\ldots .$ L’une de ces limites est $x=0.$ Pour avoir les autres, on supposera d’abord $\mathrm {S,S',S''} ,\ldots$ nuls ; les constantes $\mathrm {C,C',C''} ,\ldots$ seront par conséquent nulles dans les équations $(b),(b'),\ldots ,$ puisque la supposition de $x=0$ rend nuls les autres termes de ces équations. En égalant ensuite séparément à zéro les coefficients de $\delta y,{\frac {d\delta y}{dx}},\ldots$ dans ces mêmes équations, on aura les suivantes :

${\begin{aligned}0=&x\Delta \mathrm {Z} -{\frac {d(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} )}{1.2dx}}+\ldots ,\\0=&{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\\0=&x\Delta \mathrm {Z} '-{\frac {d(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} ')}{1.2dx}}+\ldots ,\\0=&{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} '}{1.2}}-\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On éliminera, au moyen de ces équations, toutes les constantes arbitraires, moins une, des valeurs de $\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots ,$ et l’on arrivera à une équation finale en $x,$ dont les racines seront les limites des intégrales