étant des fonctions de
seul, et
étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et de ![{\displaystyle x,\varphi ,\varphi ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afab2128abdd28ae9d8cb57a8ac8b795eb1f7500)
dans lesquelles
sont sous une forme linéaire.
Considérons d’abord l’équation
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int x^{s}zdx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592e199dc05ab36dc84396ff085b8d5fcfc9121)
on a
![{\displaystyle z=\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)(s-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}\mathrm {Z} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04323700bba2a699f92a945294503b5b4484d361)
la caractéristique
des différences finies étant relative à la variable
, et
étant ce que deviennent
lorsqu’on y suppose
On aura donc
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int x^{s}dx\left[\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bfd2bbcbc7adc6e8e0584e8490d495c409a98b1)
Si l’on fait
on aura
![{\displaystyle sx^{s}=x{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s(s-1)x^{s}=x^{2}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5d7d3617fa15a5373c51ba05ce1a21e28044d0)
l’équation précédente devient ainsi
![{\displaystyle \mathrm {S} =\int dx\left(\mathrm {Z} \delta y+x\Delta \mathrm {Z} {\frac {d\delta y}{dx}}+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7c0892e41aaf785bffc5ab07d981e636ce2219)
d’où l’on tire, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes
![{\displaystyle (a)\qquad \qquad \quad \qquad \ 0=\mathrm {Z} -{\frac {d(x\Delta \mathrm {Z} )}{dx}}+{\frac {d^{2}(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} )}{1.2dx^{2}}}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a79b448832ae6c470162f0d027bf7c57086177)
![{\displaystyle (b)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} =\mathrm {C} &+\delta y\left[x\Delta \mathrm {Z} -{\frac {d(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} )}{1.2dx}}+\ldots \right]\\&+{\frac {d\delta y}{dx}}\left({\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2df4142124bd682ca3e33b7d1c8dc5bcd09d20d9)
étant une constante arbitraire. L’équation
![{\displaystyle \mathrm {S} '=\int x^{s}z'dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b01c405610ff18d887bbf21544a57b5ffb30fd3)