Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/300

$\Delta ^{3}y_{s},\ldots$ sont les seconde, troisième,… différences de $y_{s},$ et $\mathrm {S}$ est une fonction de $s$. Cela posé, représentons $y_{s}$ par $\int x^{s}\varphi dx,\ \varphi$ étant une fonction de $x$ qu’il faut déterminer, ainsi que les limites de l’intégrale. En désignant $x^{s}$ par $\delta y,$ on aura

$\Delta y_{s}=\int \delta y(x-1)fdx,\qquad \Delta ^{2}y_{s}=\int \delta y(x-1)^{2}fdx,\qquad \ldots \,;$

on aura ensuite

$sx^{s}=x{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s(s-1)x^{s}=x^{2}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots \,;$

l’équation (1) aux différences devient ainsi

$\mathrm {S} =\int \varphi dx\left\{{\begin{aligned}\delta y&\left[a\quad +b\quad (x-1)+e\quad (x-1)^{2}+\ldots \right]\\+{\frac {xd\delta y}{dx}}\quad &\left[a^{(1)}+b^{(1)}(x-1)+e^{(1)}(x-1)^{2}+\ldots \right]\\+{\frac {x^{2}d^{2}\delta y}{dx^{2}}}&\left[a^{(2)}+b^{(2)}(x-1)+e^{(2)}(x-1)^{2}+\ldots \right]\\+\ \ \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$

Au lieu de faire $y_{s}$ égal à $\int x^{s}\varphi dx,$ on peut le supposer égal à $\int c^{-sx}\varphi dx\,;$ alors on a

$\Delta y_{s}=\int c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)\varphi dx,\qquad \Delta ^{2}y_{s}=\int c^{-sx}\left(c^{-x}-1\right)^{2}\varphi dx,\qquad \ldots .$

De plus, si l’on désigne $c^{-sx}$ par $\delta y,$ on aura

$sc^{-sx}=-{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s^{2}c^{-sx}={\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots \,;$

en mettant donc les coefficients de l’équation (1) sous cette forme,

${\begin{aligned}\mathrm {A} &=a+a^{(1)}s+a^{(2)}s^{2}+\ldots ,\\\mathrm {B} &=b\,+b^{(1)}s\,+b^{(2)}s^{2}+\ldots ,\\\mathrm {C} &=e\,+e^{(1)}s\,+e^{(2)}s^{2}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$