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LIVRE PREMIER.
Si l’on nomme
la fonction génératrice de
on aura, en vertu de l’équation précédente,
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)\\&+t{\frac {d}{dt}}\left[u\left(a'+{\frac {b'}{t}}+{\frac {c'}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q'}{t^{n}}}\right)\right]\\&+t{\frac {d}{dt}}\left\{t{\frac {d}{dt}}\left[u\left(a''+{\frac {b''}{t}}+{\frac {c''}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q''}{t^{n}}}\right)\right]\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&\mathrm {A} +\mathrm {B} t+\mathrm {C} t^{2}+\ldots +\mathrm {H} t^{n-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd15fb1dcfea869eaf8b2b57977ade0e88838119)
étant des constantes arbitraires, qui dépendent des valeurs de
En effet, si l’on substitue dans cette équation la valeur précédente de
en série, on voit qu’en vertu de l’équation différentielle proposée, tous les coefficients de la même puissance de
disparaissent lorsque cette puissance est égale ou plus grande que
, et la comparaison des puissances inférieures donne un nombre
d’équations, qui déterminent les constantes
au moyen des valeurs ![{\displaystyle y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d76a4c693887d92c8e0433122e68606e1b1e4ea5)
L’équation différentielle précédente n’est intégrale généralement que dans le cas où elle est du premier ordre, et alors les coefficients de l’équation aux différences finies en
ne renferment que la première puissance de
dans ce dernier cas, on peut obtenir la fonction génératrice
par des quadratures.
21. La connaissance des fonctions génératrices des équations différentielles donne l’expression des intégrales de ces équations au moyen de quadratures définies. Reprenons, pour cela, l’équation
![{\displaystyle u=y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{x}t^{x}+y_{x+1}t^{x+1}+\ldots +y_{\infty }t^{\infty }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a32c8cbefe089c08396744d805f3f4c3e07de32)
Substituons dans ses deux membres
au lieu de
étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et nommons
ce que devient alors
En multipliant l’équation par