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LIVRE PREMIER.
étant des constantes arbitraires. En effet, si l’on compare cette fonction à celle-ci,
![{\displaystyle y_{0}+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots +y_{x}t^{x}+y_{n+1}t^{x+1}+\ldots +y_{\infty }t^{\infty },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ddf0cf497505069594b9603228e80a7e436a3f)
on aura, en faisant disparaître le dénominateur et en vertu de l’équation aux différences en ![{\displaystyle y_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b068df8256fa8a52bd046f10c767722c4bc1b7d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} +\mathrm {B} t+\mathrm {C} t^{2}+\ldots +\mathrm {H} t^{n-1}&=t^{n-1}(by_{0}+cy_{1}+\ldots )\\&+t^{n-2}(cy_{0}+ey_{1}+\ldots )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1377dc819269dad81c4587252f1b77724980ff02)
en égalant ensuite les puissances homogènes de
on aura les valeurs de
au moyen des
valeurs
on aura donc ainsi la fonction génératrice de ![{\displaystyle y_{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3e3efe6b8f54a512e66d9effecdd8f4b567b12)
Si l’on suppose
on aura
et alors l’équation
![{\displaystyle 0=ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+\ldots +qy_{x+n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc86aa0e41ab6d2609126d7937e5dde1b4704ed)
devient
![{\displaystyle 0=a\Delta ^{i}y'_{x}+b\Delta ^{i}y'_{x+1}+\ldots +q\Delta ^{i}y'_{x+n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e9b5f11b826745824806f963f154b68bf7ea00c)
ce qui donne, en intégrant,
![{\displaystyle ay'_{x}+by'_{x+1}+\ldots +qy'_{x+n}=\mathrm {M} x^{i-1}+\mathrm {N} x^{i-2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe6aa9db735435c162541633fbff5a8986de181)
étant des constantes arbitraires. Par le no 2,
étant la fonction génératrice de
celle de
est
![{\displaystyle {\frac {ut^{i}+\mathrm {A} 't^{i-1}+\mathrm {B} 't^{i-2}+\ldots }{(1-t)^{i}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db066d28dbc4f395c882ff1b47b7118dacd6683)
la fonction génératrice de
ou de la quantité donnée par l’équation précédente en
est donc
![{\displaystyle {\frac {\begin{aligned}&\left(\mathrm {A+B} t+\mathrm {C} t^{2}+\ldots +\mathrm {H} t^{n-1}\right)t^{i}\\+&\left(\mathrm {A} 't^{i-1}+\mathrm {B} 't^{n-2}+\ldots \right)\left(at^{n}+bt^{n-1}+\ldots +q\right)\end{aligned}}{(1-t)^{i}\left(at^{n}+bt^{n-1}+ct^{n-2}+\ldots +pt+q\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fbc1b94f04d56b6095071e2806d34d2cabdd64d)
Concevons maintenant que
soient des fonctions rationnelles et entières de
de l’ordre
et que
soient des fonctions arbitraires de la même quantité ;
sera fonction de
et de