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LIVRE PREMIER.
et, en suivant l’analyse donnée précédemment, il est facile d’en conclure que l’intégrale complète de l’équation proposée
est
![{\displaystyle y_{x,x'}=\varphi (x+x')+\psi (x+x'),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82ba0ff9eb0bf915e8ca535bf17bf9eb7e36137)
étant une fonction arbitraire de
et
étant une fonction arbitraire de
Il est facile d’ailleurs de s’assurer que cette valeur satisfait à la proposée, et qu’elle en est l’intégrale complète, puisqu’elle renferme deux fonctions arbitraires.
Supposons présentement que, dans la Table suivante
(Z)
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on connaisse les deux premiers rangs horizontaux compris entre les deux colonnes verticales extrêmes
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{lllll}y_{0,0},&y_{0,1},&y_{0,2},&\ldots &y_{0,\infty },\\y_{n,0},&y_{n,1},&y_{n,2},&\ldots &y_{n,\infty },\end{array}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26c16068b0438d294520684a37249d7595347481)
et que l’on connaisse de plus tous les termes de ces deux colonnes ; on pourra déterminer toutes les valeurs de
qui tombent entre ces colonnes. Car, si l’on veut former le troisième rang horizontal, on observera que l’équation
donne
![{\displaystyle y_{x,x'+1}=y_{x+1,x'}+y_{x-1,x'}-y_{x,x'-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9c46abb842f40926196afb666687fbe5a5075)
En faisant, dans cette dernière équation,
et successivement
on aura les valeurs de ![{\displaystyle y_{1,2},y_{2,2},y_{3,2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f00c5619c6baf4b7d18b63abf517692a69b944c)
ou le troisième rang horizontal, au moyen des deux premiers rangs horizontaux. On formera de la même manière le quatrième rang horizontal, et ainsi de suite à l’infini. Mais, si l’on veut déterminer les valeurs de
qui tombent hors de la Table (Z), les conditions précédentes ne suffisent pas, et il faut leur en ajouter d’autres.