46
THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
En général, on a
![{\displaystyle {\begin{aligned}uu'u''&\ldots \left({\frac {1}{tt't''}}-1\right)^{n}\\&uu'u''\ldots \left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t'}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t''}}-1\right)\ldots -1\right]^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d313c2a2978329ee205c2878f59057f021ce9cdc)
ce qui donne, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
(10)
|
|
|
pourvu que, dans chaque terme du développement du second membre de cette équation, on place immédiatement après chaque caractéristique
respectivement
et qu’on multiplie ce terme par le produit des fonctions dont il ne contient point la caractéristique. Ainsi, dans le cas de trois variables, on écrira, au lieu de
la quantité
au lieu de
on écrira
au lieu de
on écrira
et ainsi du reste.
En faisant
négatif, l’équation (10) subsiste encore, pourvu que l’on change les différences négatives en intégrales.
Dans le cas des différences infiniment petites, les caractéristiques
se changent en
L’équation (10) devient ainsi, en négligeant les différentielles d’un ordre supérieur relativement à celles d’un ordre inférieur,
![{\displaystyle d^{n}y_{x}y'_{x}y''_{x}\ldots =(d+d'+d''+\ldots )^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f40480167ef008b4d30bbe98cf0e89d40fabfbd)
Cette équation développée donne, relativement à deux fonctions
et ![{\displaystyle y'_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a2ffbcf6f682148c55e2b09c66f18825e16f2ca)
![{\displaystyle d^{n}y_{x}y'_{x}=y'_{x}d^{n}y_{x}+ndy'_{x}d^{n-1}y_{x}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}d^{2}y'_{x}d^{n-2}y_{x}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4216787179cbed04c59b1616dd5899cfbe7d0e2)
En faisant
négatif, les différences négatives se changeant en intégrales, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int ^{n}y_{x}y'_{x}dx^{n}=&y'_{x}\int ^{n}y_{x}dx^{n}-n{\frac {dy'_{x}}{dx}}\int ^{n+1}y_{x}dx^{n+1}\\&+{\frac {n(n+1)}{1.2}}{\frac {d^{2}y'_{x}}{dx^{2}}}\int ^{n+2}y_{x}dx^{n+2}-\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f2418348e286e2b1c78d094b62ca52bfb942796)