44
THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
trices aux coefficients,
(7)
|
|
|
On peut ainsi obtenir une infinité de résultats semblables. Nous nous bornerons au suivant, qui nous sera utile dans la suite :
est la fonction génératrice de
![{\displaystyle y_{x+{\frac {n}{2}}}-ny_{x+{\frac {n}{2}}-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}y_{x+{\frac {n}{2}}-2}-\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2906bec36229ff9fef692180cf2166b159f1f2d5)
ou de
De plus, on a
![{\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {i}}}-{\sqrt {i}}\right)^{n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {1}{2dx}}-\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{-{\frac {1}{2dx}}}\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3514a0ef84ee7687278ac1f32a3522370ca44ab9)
d’où l’on tire, en repassant par l’analyse précédente des fonctions génératrices aux coefficients
![{\displaystyle \Delta ''y_{x-{\frac {n}{2}}}=\left(c^{\frac {dy_{x}}{2dx}}-c^{-{\frac {dy_{x}}{2dx}}}\right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f9d3bd4b3b2cdb6c083a377b242eae45a90e90)
11. Je n’ai considéré jusqu’ici qu’une seule fonction
de
; mais la considération du produit de plusieurs fonctions de la même variable conduit à divers résultats curieux et utiles d’analyse. Soit
une fonction de
, et
le coefficient de
dans le développement de cette fonction ; soit
une fonction de
et
le coefficient de
dans le développement de cette fonction ; soit encore
une fonction de
et
le coefficient de
dans son développement, et ainsi de suite. Il est clair que
sera le coefficient de
dans le développement du produit
ce produit sera donc la fonction génératrice de
La fonction génératrice de
ou de
sera ainsi
![{\displaystyle uu'u''\ldots \left({\frac {1}{tt't''}}-1\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c3979f06f9bd9148ef8f4525505e891045fec95)