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LIVRE PREMIER.
peut en conclure des théorèmes ana\logues aux précédents, sur les dérivées successives des fonctions. Je nomme dérivée d’une fonction
toute quantité qui en dérive, telle que
En regardant ensuite cette fonction dérivée comme une nouvelle fonction que je désigne par
la quantité
sera une seconde dérivée de la fonction
et ainsi de suite. Lorsque la fonction
devient
la dérivée devient une différence finie.
Maintenant on a
![{\displaystyle (q)\quad \left\{{\begin{aligned}u&\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {e}{t^{2}}}+{\frac {h}{t^{3}}}+\ldots \right)^{n}\\&=u\left[a+b\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {1}{dx}}+e\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {2}{dx}}+\ldots \right]^{n}\,;\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb55d4235667f75c3d2dd4ebe8c4a98781385ebc)
on a ensuite généralement, par le no 2, en désignant par
la quantité
pour le coefficient de la fonction génératrice du premier membre de cette équation ; de plus on a
![{\displaystyle u\left(1+{\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{\frac {r}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876c4dc0f3589ff49a73df876b38e2bbfd71a1af)
![{\displaystyle =u\left[1+{\frac {r}{dx}}\left({\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)+{\frac {r^{2}}{1.2.dx^{2}}}\left({\frac {1}{t^{dx}}}-1\right)^{2}+\ldots \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dd359b338853642d97fbf69c7b773944eee8ce9)
Le second membre de cette équation est la fonction génératrice de
![{\displaystyle y_{x}+r{\frac {dy_{x}}{dx}}+{\frac {r^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y_{x}}{dx^{2}}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a97233cf0fe232a45def0cd7b707f6a30bd739c)
ou de
en appliquant à la caractéristique
les exposants de puissances de
et écrivant
au lieu de
De là on conclut que, sous les mêmes conditions, le second membre de l’équation
est la fonction génératrice de
![{\displaystyle \left(a+bc^{\frac {dy_{x}}{dx}}+ec^{\frac {2dy_{x}}{dx}}+hc^{\frac {3dy_{x}}{dx}}+\ldots \right)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e299be7d191757f17c384eb1fe14ab71082442)
et qu’ainsi cette équation donne, en repassant des fonctions généra-