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LIVRE PREMIER.
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique à la caractéristique 
les exposants des puissances de 
que l’on change les différences négatives en intégrales et que l’on substitue 
au lieu de 
et comme ce développement renferme l’intégrale 
qui peut être censée renfermer 
constantes arbitraires, l’équation (2) est encore vraie, en ayant égard aux constantes arbitraires.
On peut observer que cette équation se déduit de l’équation (1), en faisant dans celle-ci négatif et en y changeant les différences négatives en intégrales, c’est-à-dire, en écrivant 
au lieu de 
dans le premier membre ; et généralement, dans le développement du second membre, 
au lieu de 
Les équations (1) et (2) auraient également lieu, si 
au lieu de varier de l’unité dans variait d’une quantité quelconque et, pourvu que la variation de 
dans 
soit égale à 
En effet, il est clair que, si dans 
on fait 
variera de 
lorsque variera de l’unité ; se changera dans 
la variation de 
étant 
et se changera dans 
la variation de étant Maintenant si, après avoir substitué ces quantités dans les équations (1) et (2), on suppose 
infiniment petit et égal à 
se changera dans la différence infiniment petite 
Si de plus on fait 
infini et 
étant une quantité finie, la variation de dans 
sera 
on aura donc
![{\displaystyle (q)\qquad \qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}'\Delta ^{n}y_{x'}=&\left[\left(1+dy_{x'}\right)^{i}-1\right]^{n},\\'\Sigma ^{n}y_{x'}=&{\frac {1}{\left[\left(1+dy_{x'}\right)^{i}-1\right]^{n}}}.\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feef72280dae1f4cbb6cc2d7ec83cdb62ebc29be)
Or on a
ce qui donne
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; on a
