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LIVRE PREMIER.
on aura donc, par la formule précédente, l’intégrale des équations linéaires aux différences finies dont les coefficients sont constants, dans le cas où elles ont un dernier terme fonction de
.
L’intégrale définie relative à
peut être facilement transformée dans une suite d’intégrales indéfinies relatives à
car l’expression générale de
est formée de
termes de la forme
étant une fonction de
indépendante de la variable
l’intégrale précédente est donc composée d’intégrales de la forme
cette dernière intégrale devant être prise depuis
nul jusqu’à
elle est égale à l’intégrale indéfinie
![{\displaystyle \mathrm {I} \Sigma (i-ns)^{\mu }\alpha ^{i-ns+1}\mathrm {X} _{i-ns+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9237e51114f90c5f7709616b0382ca96e241a1)
prise depuis ![{\displaystyle i=ns.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7a5b1f54faa0530770e965f74f46118e24985d2)
7. On peut donner à l’expression de
une infinité d’autres formes dont plusieurs peuvent être utiles. Donnons-lui, par exemple, cette forme
![{\displaystyle {\frac {1}{t^{i}}}=\mathrm {Z} ^{(0)}+\left({\frac {1}{t}}-1\right)\mathrm {Z} ^{(1)}+\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}\mathrm {Z} ^{(2)}+\ldots +\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\mathrm {Z} ^{(n-1)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3c0ec981cf9eaaf36a94069e1c6449e55d86dc)
On déterminera ainsi les valeurs de
On mettra d’abord l’équation
![{\displaystyle z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61f5917454115cadf63ca53c800e8c9ceeda86df)
sous cette forme, en y substituant
au lieu de
et développant suivant les puissances de ![{\displaystyle {\frac {1}{t}}-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6536117a1dde6b7e76f488c738d651301d69d82b)
![{\displaystyle z=a'+b'\left({\frac {1}{t}}-1\right)+c'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}+\ldots +q'\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f876c69bac7e9ef01229c4640f5aeb4d7cc7a45)
et l’on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'=&a+b+c+\ldots +q,\\b'=&b+2c++3e+\ldots +nq,\\c'=&c++3e+\ldots +{\frac {n(n-1)}{1.2}}q,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe50746afa8e46a98ff6789bb140f9aa750aa9c)