Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/211

23

LIVRE PREMIER.

qui précède, égal à

$(o)\quad -{\frac {1}{1.2.3\ldots (s-1)a^{s}}}{\frac {d^{s-1}}{d\theta ^{s-1}}}\left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{\theta ^{r+1}(\theta -\alpha ')^{s}(\theta -\alpha '')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {1}{\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha '')^{s}\ldots }}\\+&{\frac {1}{\theta ^{r+1}(\theta -\alpha )^{s}(\theta -\alpha ')^{s}\ldots }}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

pourvu qu’après les différentiations on suppose $\theta =\alpha$ dans le premier terme, $\theta =\alpha '$ dans le second terme, $\theta =\alpha ''$ dans le troisième terme, etc. S’il n’y a qu’un seul facteur $\theta -\alpha ,$ la fonction renfermée entre les deux parenthèses se réduit à ${\frac {1}{\theta ^{r+1}}},\ \theta$ devant être changé en $\alpha$ après les différentiations, ce qui réduit la quantité $(o)$ à

$(-1)^{s}{\frac {(r+1)(r+2)(r+3)\ldots (r+s-1)}{1.2.3\ldots (s-1)a^{s}}}{\frac {1}{\alpha ^{r+s}}}.$

Si dans l’expression de $\mathrm {V}$ quelques-uns des facteurs $\theta -\alpha ,\theta -\alpha ',\ldots$ sont élevés à des puissances plus hautes que l’unité ; par exemple, si $\theta -\alpha$ est élevé à la puissance $m,$ il sera élevé à la puissance $-ms$ dans ${\frac {1}{\mathrm {V} ^{s}}},$ et alors il faut changer le premier terme de la quantité $(o)$ dans le suivant :

$-{\frac {1}{1.2.3\ldots (ms-1)a^{s}}}{\frac {d^{ms-1}}{d\theta ^{ms-1}}}{\frac {1}{\theta ^{r+1}(\theta -\alpha ')^{s}(\theta -\alpha '')^{s}\ldots }},$

et dans les autres termes, il faut changer $(\theta -\alpha )^{s}$ dans $(\theta -\alpha )^{ms}.$

Représentons généralement par $\mathrm {Z} _{r}^{(s-1)}$ la quantité $(o)\,;$ le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la fraction ${\frac {1}{\mathrm {V} -z\theta ^{n}}}$ sera

$\mathrm {Z} _{i}^{(0)}+\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}z+\mathrm {Z} _{i-2n}^{(2)}z^{2}+\mathrm {Z} _{i-3n}^{(3)}z^{3}+\ldots \,;$

on aura donc, pour le coefficient de $\theta ^{i}$ dans le développement de la