13
LIVRE PREMIER.
étant égal à
le coefficient de
dans le développement de
est, par le no 2,
ce même coefficient dans
est
et ainsi de suite. L’équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x+i}=y_{x}&+i\Delta y_{x-r}+{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x-2r}\\&+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x-3r}+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07de7942ed77a9c09ab597c8966992f2e0cae8e2)
4. Voici maintenant une méthode générale d’interpolation, qui a l’avantage de s’appliquer, non seulement aux séries dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux séries dont la dernière raison des termes est celle d’une suite quelconque récurrente.
Supposons d’abord que l’on ait
(1)
|
|
|
et cherchons la valeur de
dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de
Il est clair que
est égal au coefficient de
dans le développement de la fraction
Si l’on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette fraction par
on aura celle-ci
![{\displaystyle {\frac {1-\theta t}{1-\theta \left({\cfrac {1}{t}}+t\right)+\theta ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2af33340a09678c9e195f86a7cf14da2967ba07c)
L’équation (1) donne
![{\displaystyle {\frac {1}{t}}+t=2+z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80606197aa7671540e6464caa014957c6fcba1d8)
ce qui change la fraction précédente dans celle-ci,
![{\displaystyle {\frac {1-\theta t}{(1-\theta )^{2}-z\theta }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7f6a362220bb54c529ccef2bb1b2a2a928f737)