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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.
De plus, le coefficient de
dans le développement de
est
ce coefficient dans le développement de
est
dans le développement de
il est égal à
et ainsi de suite ; l’équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux coefficients,
![{\displaystyle y_{x+i}=y_{x}+i\Delta y_{x}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d398e2d8ef0443ef9a68db30425c8a6a94ce44)
Cette équation, ayant lieu quel que soit
en le supposant même fractionnaire, sert à interpoler les suites dont les différences successives vont en décroissant.
Si l’on a l’équation aux différences finies
![{\displaystyle \Delta ^{n}y_{x}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f3c69d4c9ac53ed701f27a185e30b1a2b45044)
la série précédente se termine, et l’on a, quel que soit
en faisant
nul,
![{\displaystyle y_{i}=y_{0}+i\Delta y_{0}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{0}+\ldots +{\frac {i(i-1)\ldots (i-n+2)}{1.2.3\ldots (n-1)}}\Delta ^{n-1}y_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49b27736951a3d9241535d3dfae5ec08a8b70d86)
C’est l’intégrale complète de l’équation proposée aux différences, ![{\displaystyle y_{0},\Delta y_{0},\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fba57bc0d60473723d6185f1034a4f1e52c0d64)
étant les
constantes arbitraires de cette intégrale.
Toutes les manières de développer la puissance
donnent autant de manières différentes d’interpoler les suites. Soit, par exemple,
![{\displaystyle {\frac {1}{t}}=1+{\frac {\alpha }{t^{r}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e429feb0864c083e02d8e277bcad358f7465314b)
en développant
suivant les puissances de
par la formule
du no 21 du second livre de la Mécanique céleste, on aura
![{\displaystyle {\frac {u}{t_{i}}}=u\left\{{\begin{aligned}1&+i\alpha +{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\alpha ^{3}\\&+{\frac {i(i+4r-1)(i+4r-2)(i+4r-2)(i+4r-1)}{1.2.3.4}}\alpha ^{4}+\ldots \end{aligned}}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6102f4b25141e3100f7376a95a123dbb570b5c9)