sur la lumière, et son expression doit être beaucoup plus simple que celle de la loi de réfraction extraordinaire, qui la renferme et qui dépend encore de la position de la face par laquelle le rayon lumineux a pénétré dans le cristal. Ainsi le problème de la réfraction se partage en deux autres : le premier consiste à déterminer la loi de réfraction correspondante à une loi connue de l’action du milieu ; le second a pour objet de ramener cette dernière loi à l’action réciproque des molécules du cristal et de la lumière. On vient de voir combien de données nous manquent pour le résoudre ; mais le premier problème peut être résolu par le principe de la moindre action, indépendamment de ces données.
Ce principe a généralement lieu dans le mouvement d’un point soumis à des forces attractives et répulsives. En l’appliquant à la lumière, on peut faire abstraction du très petit arc qu’elle décrit, en passant du vide dans un milieu diaphane, et supposer son mouvement uniforme, lorsqu’elle y a pénétré d’une quantité sensible. Le principe de la moindre action se réduit donc alors à ce que la lumière parvient d’un point pris au dehors à un point pris dans l’intérieur du cristal de manière que, si l’on ajoute le produit de la droite qu’elle décrit au dehors par sa vitesse primitive au produit de la droite qu’elle décrit au dedans par sa vitesse actuelle, la somme fait un minimum. Maintenant la direction de la vitesse est déterminée par les angles qu’elle forme avec deux axes perpendiculaires entre eux ; la loi de l’action du milieu sur la lumière donne, par le principe des forces vives, sa vitesse lorsqu’elle a pénétré dans le milieu diaphane ; le principe de la moindre action donnera donc, entre les angles que font avec les deux axes ses directions avant et après son passage dans le milieu, deux équations différentielles qui déterminent la direction de la lumière réfractée, en fonction des angles formés par la direction primitive avec les deux axes. On aura ainsi la loi de la réfraction extraordinaire, correspondante à celle de l’action du milieu sur la lumière.
La loi d’action la plus simple est celle dont l’expression se réduit à une constante ; on trouve alors, par la méthode précédente, que les
