en ce que ces principes sont de véritables intégrales des équations différentielles du mouvement des corps, au lieu que celui de la moindre action n’est qu’une combinaison singulière de ces mêmes équations.
La force finie d’un corps étant le produit de sa masse par sa vitesse, et la vitesse multipliée par l’espace décrit dans un élément du temps étant égale au produit de cet élément par le carré de la vitesse, le principe de la moindre action peut s’énoncer ainsi : l’intégrale de la force vive d’un système, multipliée par l’élément du temps, est un minimum, en sorte que la véritable économie de la nature est celle de la force vive. C’est aussi l’économie que l’on doit se proposer dans la construction des machines, qui sont d’autant plus parfaites qu’elles emploient moins de force vive pour produire un effet donné. Si les corps ne sont sollicités par aucune force accélératrice, la force vive du système est constante ; le système parvient donc d’une position à une autre quelconque dans le temps le plus court.
On doit faire une remarque importante sur l’étendue de ces divers principes. Celui du mouvement uniforme du centre de gravité et le principe de la conservation des aires subsistent dans le cas même où, par l’action mutuelle des corps, il survient des changements brusques dans leurs mouvements, et cela rend ces principes très utiles dans beaucoup de circonstances ; mais le principe de la conservation des forces vives et celui de la moindre action exigent que les variations du mouvement du système se fassent par des nuances insensibles.
Si le système éprouve des changements brusques par l’action mutuelle des corps ou par la rencontre d’obstacles, la force vive reçoit, à chacun de ces changements, une diminution égale à la somme des produits de chaque corps par le carré de sa vitesse détruite, en concevant sa vitesse avant le changement décomposée en deux, l’une qui subsiste, l’autre qui est anéantie et dont le carré est évidemment égal à la somme des carrés des variations que le changement fait éprouver à la vitesse décomposée parallèlement à trois axes quelconques perpendiculaires entre eux.
Tous ces principes subsisteraient encore, eu égard au mouvement
