que l’on a nommé principe de la conservation des forces vives, s’étend à toutes les lois possibles entre la force et la vitesse, si l’on désigne par force vive d’un corps le double de l’intégrale du produit de sa vitesse par la différentielle de la force finie dont il est animé.
Dans le mouvement d’un corps sollicité par des forces quelconques, la variation de la force vive est égale à deux fois le produit de la masse du corps par la somme des forces accélératrices multipliées respectivement par les quantités élémentaires dont le corps s’avance vers leurs origines. Dans le mouvement d’un système de corps, le double de la somme de tous ces produits est la variation de la force vive du système.
Concevons que, dans le mouvement du système, tous les corps arrivent au même instant dans la position où il serait en équilibre en vertu des forces accélératrices qui le sollicitent ; la variation de la force vive y sera nulle, par le principe des vitesses virtuelles ; la force vive sera donc alors à son maximum ou à son minimum. Si le système n’était mû que par une seule espèce de ses oscillations simples, les corps, en partant de la situation d’équilibre, tendraient à y revenir si l’équilibre est stable ; leurs vitesses diminueraient donc à mesure qu’ils s’en éloigneraient, et par conséquent la force vive serait, dans cette position, un maximum. Mais si l’équilibre n’était point stable, les corps, en s’éloignant de cet état, tendraient à s’en éloigner davantage, et leurs vitesses iraient en croissant ; leur force vive serait donc alors un minimum. De là on peut conclure que, si la force vive est constamment un maximum lorsque les corps parviennent au même instant à la position d’équilibre, quelle que soit leur vitesse, l’équilibre est stable, et qu’au contraire, il n’a ni stabilité absolue, ni stabilité relative, si la force vive, dans cette position du système, est constamment un minimum.
Enfin, on a vu, dans le Chapitre II, que la somme des intégrales du produit de chaque force finie du système par l’élément de sa direction, somme qui, dans l’état d’équilibre, est nulle, devient un minimum dans l’état du mouvement. C’est en cela que consiste le principe de la moindre action, principe qui diffère de ceux du mouvement uniforme du centre de gravité, de la conservation des aires et des forces vives,
