En général, l’élément du temps étant supposé constant, la différence seconde de chaque coordonnée, divisée par le carré de cet élément, représente une force qui, appliquée en sens contraire au point, ferait équilibre à la force qui le sollicite suivant cette coordonnée. En multipliant la différence de ces forces par la variation arbitraire de la coordonnée, et ajoutant les trois produits semblables relatifs aux trois coordonnées, leur somme sera nulle par la condition de l’équilibre. Si le point est libre, les variations des trois coordonnées seront toutes arbitraires, et, en égalant à zéro le coefficient de chacune d’elles, on aura les trois équations différentielles du mouvement du point. Mais, si le point n’est pas libre, on aura entre les trois coordonnées une ou deux relations, qui donneront un pareil nombre d’équations entre leurs variations arbitraires. En éliminant donc à leur moyen autant de ces variations, on égalera les coefficients des variations restantes à zéro, et l’on aura les équations différentielles du mouvement, équations qui, combinées avec les relations des coordonnées, détermineront pour un instant quelconque la position du point.
L’intégration de ces équations est facile quand la force est dirigée vers un centre fixe ; mais souvent la nature des forces la rend impossible. Cependant la considération des équations différentielles conduit à quelques principes intéressants de Mécanique, tels que le suivant. La différentielle du carré de la vitesse d’un point soumis à l’action de forces accélératrices est égale au double de la somme des produits de chaque force par le petit espace dont le point s’avance suivant la direction de cette force. Il est aisé d’en conclure que la vitesse acquise par un corps pesant, le long d’une ligne ou d’une surface courbe, est la même que s’il tombait verticalement de la même hauteur.
Plusieurs philosophes, frappés de l’ordre qui règne dans la nature et de la fécondité de ses moyens dans la production des phénomènes, ont pensé qu’elle parvient toujours à son but par les voies les plus simples. En étendant cette manière de voir à la Mécanique, ils ont cherché l’économie que la nature avait eue pour objet dans l’emploi des forces et du temps. Ptolémée avait reconnu que la lumière réfléchie parvient
