de ce secteur on mène une tangente à la courbe, et que l’on prolonge jusqu’à cette tangente le rayon mené de l’origine de la force à l’autre extrémité de l’arc ; la partie de ce rayon interceptée entre la courbe et la tangente sera visiblement l’espace que la force centrale a fait décrire. En divisant le double de cet espace par le carré du temps, on aura l’expression de la force ; or le secteur est proportionnel au temps ; la force centrale est donc comme la partie du rayon vecteur interceptée entre la courbe et la tangente, divisée par le carré du secteur. À la rigueur, la force centrale dans les divers points de la courbe n’est pas proportionnelle à ces quotients ; mais elle approche d’autant plus de l’être que les secteurs sont plus petits, en sorte qu’elle est exactement proportionnelle à la limite de ces quotients. L’analyse différentielle donne cette limite en fonction du rayon vecteur, lorsque la nature de la courbe est connue, et alors on a la fonction de la distance à laquelle la force centrale est proportionnelle.
Si la loi de la force est donnée, la recherche de la courbe qu’elle fait décrire présente plus de difficulté. Mais, quelles que soient les forces dont le corps toujours supposé libre est animé, on déterminera facilement de la manière suivante les équations différentielles de son mouvement. Imaginons trois axes fixes perpendiculaires entre eux ; la position du corps à un instant quelconque sera déterminée par trois coordonnées parallèles à ces axes. En décomposant chacune des forces qui agissent sur le point en trois autres dirigées parallèlement aux mêmes axes, le produit de la résultante de toutes les forces parallèles à l’une des coordonnées par l’élément du temps pendant lequel elle agit exprimera l’accroissement de la vitesse du corps parallèlement à cette coordonnée ; or cette vitesse peut être supposée égale à l’élément de la coordonnée divisé par l’élément du temps ; la différentielle du quotient de cette division est donc égale au produit précédent. La considération des deux autres coordonnées fournit deux égalités semblables ; ainsi la détermination du mouvement du corps devient une recherche de pure analyse, qui se réduit à l’intégration de ces équations différentielles.
