le pendule n’étant pas exactement en raison de l’arc mesuré depuis la verticale, cet isochronisme n’est qu’approché relativement aux petites oscillations d’un corps pesant, mû dans un cercle. Il est rigoureux dans la courbe sur laquelle la pesanteur, décomposée parallèlement à la tangente, est proportionnelle à l’arc compté du point le plus bas, ce qui donne immédiatement son équation différentielle. Huygens, à qui l’on doit l’application du pendule aux horloges, avait intérêt de connaître cette courbe et la manière de la faire décrire au pendule. Il trouva qu’elle est une cycloïde placée verticalement, en sorte que son sommet soit le point le plus bas, et que, pour la faire décrire à un corps suspendu à l’extrémité d’un fil inextensible, il suffit de fixer l’autre extrémité à l’origine commune de deux cycloïdes égales à celle que l’on veut faire décrire, et placées verticalement en sens contraire, de manière que le fil, en oscillant, enveloppe alternativement chacune de ces courbes. Quelque ingénieuses que soient ces recherches, l’expérience a fait préférer le pendule circulaire, comme étant beaucoup plus simple et d’une précision suffisante, même à l’Astronomie. Mais la théorie des développées, qu’elles ont fait naître, est devenue très importante par ses applications au Système du monde.
La durée des oscillations fort petites d’un pendule circulaire est au temps qu’un corps pesant emploierait à tomber d’une hauteur égale au double de la longueur du pendule comme la demi-circonférence est au diamètre. Ainsi le temps de la chute le long d’un petit arc terminé par un diamètre vertical est au temps de la chute le long de ce diamètre, ou, ce qui revient au même, par la corde de l’arc, comme le quart de la circonférence est au diamètre ; la droite menée entre deux points donnés n’est donc pas la ligne de la plus vite descente de l’un à l’autre. La recherche de cette ligne a excité la curiosité des géomètres, et ils ont trouvé qu’elle est une cycloïde, dont l’origine est au point le plus élevé.
La longueur du pendule simple qui bat les secondes est au double de la hauteur dont la pesanteur fait tomber les corps dans la première seconde de leur chute comme le carré du diamètre est au carré de la
