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LIVRE XVI.

Si l’on nomme $ds$ l’élément de la courbe décrite par la Lune, ${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}$ sera le carré de sa vitesse ; en substituant pour $dt$ sa valeur précédente, on aura, pour ce carré,

$h^{2}u^{4}{\frac {d^{2}s}{d\upsilon ^{2}}}\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{u^{2}}}\right).$

Soit $\mathrm {R}$ le rayon osculateur de l’orbite ; les formules connues du rayon de courbure donnent, en supposant du constant,

${\frac {1}{\mathrm {R} }}=d\upsilon ^{3}{\frac {{\cfrac {d^{2}u}{d\upsilon ^{2}}}+u}{u^{3}ds^{3}}}\,;$

ainsi le carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure est

$u{\frac {d\upsilon }{ds}}h^{2}\left({\frac {d^{2}u}{d\upsilon ^{2}}}+u\right)\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{u^{2}}}\right).$

Il faut, par les théorèmes d’Huygens, égaler cette expression à la force lunaire décomposée suivant le rayon de courbure et dirigée vers le centre de courbure. On a vu que la force lunaire se décompose en deux, l’une dirigée vers la Terre et égale à $-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}},$ l’autre perpendiculaire à $r$ et égale à ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}.$ Si l’on décompose la force $-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}$ en deux, l’une parallèle à l’élément de la courbe et l’autre dirigée vers le centre de courbure, on aura pour celle-ci $-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}{\frac {rd\upsilon }{ds}}$ ou $u{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}{\frac {d\upsilon }{ds}}.$ Pareillement la force ${\frac {1}{r}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }},$ décomposée suivant le rayon de courbure, sera $-{\frac {du}{uds}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}.$ En réunissant ces deux forces dirigées vers le centre de courbure, on aura, pour la force lunaire dirigée vers ce point,

$u{\frac {d\upsilon }{ds}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}-{\frac {du}{uds}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}\,;$

en l’égalant au carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure, on aura

$0=\left({\frac {d^{2}u}{d\upsilon ^{2}}}+u\right)\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }}{\frac {d\upsilon }{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{h^{2}}}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}+{\frac {du}{h^{2}u^{2}d\upsilon }}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial \upsilon }},$