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LIVRE XVI.

Newton en conclut que la courbure ${\frac {1}{\mathrm {R} }},$ dans les syzygies, est à la courbure ${\frac {1}{\mathrm {R} }},$ dans les quadratures, dans le rapport de

$1-3x+(1+x){\frac {1-(1-m)^{2}}{(1-m)^{2}}}\quad$à$\quad 1+3x+(1-x){\frac {1-(1-m)^{2}}{(1-m)^{2}}},$

ce qui donne

$\mathrm {\frac {R'}{R}} =1-2x\left[4(1-m)^{2}-1\right].$

En égalant cette valeur de $\mathrm {\frac {R'}{R}}$ à la précédente, on a

$x={\frac {{\cfrac {3m^{2}}{2}}\left(1+{\cfrac {1}{1-m}}\right)}{4(1-m)^{2}-1}}.$

Cette expression de $x,$ réduite en nombres, donne ${\frac {69}{70}}$ pour le rapport du petit axe au grand axe de l’ellipse supposée par Newton.

La valeur de $x$ peut être conclue de la seule considération des syzygies. En effet, le carré de la vitesse divisé par le rayon de courbure est dans les syzygies, par ce qui précède,

${\frac {1+2x+{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}}{\mathrm {R} }}.$

En l’égalant à la force centrale dans ces points, et qui, comme on l’a vu, est

$k(1+2x)-2m^{2},$

on aura

${\frac {1}{\mathrm {R} }}=k\left[1-{\frac {3m^{2}}{2(1-m)}}\right]-2m^{2}.$

On trouve, suivant le procédé de Newton, pour déterminer la courbure de l’orbite dans les syzygies.

${\frac {1}{\mathrm {R} }}=1-x[4(1-m)^{2}-1].$

Pour déterminer $k,$ on doit observer que Newton a pris pour unité le