Ouvrage des Principes, a donné les démonstrations, auxquelles il n’a rien changé dans les éditions suivantes. Il y a seulement ajouté quelques équations, qu’il dit avoir déduites de sa théorie de la gravité, mais sans en donner les démonstrations. De ce nombre est l’équation annuelle de la Lune, pour laquelle il se contente d’observer que l’orbe lunaire se dilate par l’action du Soleil dans son périhélie, et se contracte par la diminution de cette action dans l’aphélie, et que la Lune se mouvant avec plus de lenteur dans un orbe plus dilaté, son mouvement doit retarder lorsque le Soleil est plus près de la Terre et s’accélérer lorsque cet astre est plus éloigné ; d’où résulte, dans le mouvement lunaire, une inégalité annuelle de signe contraire à celle du Soleil et dont il trouve une valeur conforme aux observations. Newton donne encore, sans démonstration, quelques autres inégalités. Mais l’Analyse peut seule conduire à la détermination exacte de toutes les inégalités lunaires. Il fallait sans doute une force d’esprit extraordinaire pour obtenir sans son secours les résultats auxquels Newton est parvenu, et qui, quoique incomplets, suffisent pour établir que l’attraction du Soleil sur la Lune et sur la Terre est la vraie cause de toutes les anomalies du mouvement de la Lune.
Un avantage immense de la théorie et des aperçus de Newton sur ce mouvement a été la formation de nouvelles Tables de la Lune, Tables qui, par l’application de l’Analyse à cette théorie, ont acquis le haut degré de perfection nécessaire aux besoins de la Navigation et de la Géographie.
En 1747, Clairaut et d’Alembert présentèrent à l’Académie des Sciences les équations différentielles du mouvement d’un corps attiré par deux autres et leurs méthodes pour intégrer ces équations lorsque la force principale qui sollicite le corps est fort supérieure aux forces perturbatrices, ce qui est le cas de la Lune et des planètes. Ces deux illustres géomètres firent une application spéciale de leurs analyses au mouvement de la Lune, et ils en conclurent avec une grande facilité, non-seulement l’inégalité de la variation, que Newton avait obtenue d’une manière compliquée, quoique fort ingénieuse, mais encore
