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MÉCANIQUE CÉLESTE.

Mais, parce qui précède, ce premier terme est

${\frac {\mathrm {H} \alpha ^{i}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {i\left(1-\alpha ^{2}\right)}}}\,;$

on a donc

$\mathrm {H} ={\frac {2}{\pi }}$ et, par conséquent, $b_{\frac {1}{2}}^{(i)}={\frac {4\alpha ^{i}}{\pi {\sqrt {1-\alpha ^{2}}}}}\int {\frac {\left(1-t^{2}\right)^{i-{\frac {1}{2}}}dt}{\sqrt {1+{\cfrac {\alpha ^{2}t^{2}}{1-\alpha ^{2}}}}}}$

l’intégrale étant prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ égal à l’unité, $\alpha$ étant toujours moindre que l’unité, on voit que les valeurs de $b_{\frac {1}{2}}^{(i)}$ deviennent de plus en plus petites, et qu’ainsi la série du développement de $\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}$ est très-convergente.

De la grande inégalité de Jupiter et de Saturne.

4. Il résulte du n^o 65 du Livre II que, en considérant l’orbite troublée d’une planète comme une ellipse variable, si l’on nomme $\zeta$ la longitude moyenne de Jupiter, $\zeta ',$ celle de Saturne, l’expression différentielle des grands axes donne les deux équations différentielles

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\zeta }{dt^{2}}}=&q\sin(5\zeta '-2\zeta +\mathrm {A} ),\\{\frac {d^{2}\zeta '}{dt^{2}}}=&q'\sin(5\zeta '-2\zeta +\mathrm {A} ),\end{aligned}}$

$q,q,\mathrm {A}$ étant fonctions des demi-grands axes des deux planètes, que nous désignerons par $a$ pour Jupiter et par $a'$ pour Saturne, des excentricités et des inclinaisons des orbites, des longitudes des périhélies et des nœuds, enfin des époques de la longitude. Nous regarderons ici ces quantités comme constantes, ce qui, pour notre objet, peut être supposé sans erreur sensible. En faisant donc

$\mathrm {V} =5\zeta '-2\zeta +\mathrm {A} ,$

nous aurons

${\frac {d^{2}\mathrm {V} }{dt^{2}}}=(5q'-2q)\sin \mathrm {V} ,$