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la quantité

${\frac {\displaystyle c^{-n^{(s)}t}{\cfrac {q^{'(s)}}{r}}\int q^{'(s)}dr\left[r\mathrm {U} ^{(i)}-{\frac {r^{i+1}\mathrm {Y} ^{'(i)}}{a^{(i)}\left(1+{\cfrac {i}{af}}\right)}}\right]}{\int q^{'(s)^{2}}dr}},$

$n^{(s)}$ n’étant point nul et les intégrales étant prises depuis $r$ nul jusqu’à $r$ égal au rayon $a$ de la sphère ; si l’on désigne ensuite par $\mathrm {Q} ^{(i)}$ la somme de toutes les quantités correspondantes à $s=0,\ s=1,\ldots$ jusqu’à $s$ infini, l’expression de la chaleur $\mathrm {V}$ après un temps quelconque sera la somme de toutes les valeurs de

$\mathrm {Q} ^{(i)}+{\frac {r^{(i)}}{a^{(i)}}}{\frac {\mathrm {Y} ^{(i)}}{1+{\cfrac {i}{af}}}}$

correspondantes à $i=0,\ i=1,\ldots$ jusqu’à $i$ infini.

J’ose espérer que les géomètres verront avec quelque intérêt cette nouvelle application de l’analyse par laquelle j’ai déterminé la figure des corps célestes et la loi de la pesanteur à leur surface.

10. Je vais maintenant considérer la diminution de la durée du jour, due au refroidissement de la Terre. Pour cela, je supposerai que la densité des couches terrestres croît de la surface au centre et que cependant leurs propriétés pour contenir et pour émettre la chaleur sont les mêmes que si elles étaient homogènes, en sorte que l’expression précédente de $\mathrm {V}$ leur soit applicable. Je supposerai, de plus, ces couches fluides, ou du moins assez molles pour qu’elles prennent sans résistance la figure que la compression tend à leur donner. La masse de la couche dont $\rho$ est la densité, dont $r$ est le rayon et $dr$ l’épaisseur à l’origine du temps $t$ est proportionnelle à $\rho r^{2}dr.$ Après le temps $t$, elle sera proportionnelle à

$(\rho +\delta \rho )(r+\delta r)^{2}d(r+\delta r),$

la caractéristique $\delta$ servant à exprimer les variations relatives au