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Maintenant, si l’on réunit ces différents termes, et si l’on intègre, on aura, pour la partie correspondante de $\delta v,$

$\delta v=-\left[6(0)\lambda +4(1-\lambda ){\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\right]\theta '$

$\times \left\{{\begin{aligned}&\ \ {\frac {l}{p}}\ \,\sin(pt\ \ +\Lambda \ \,-\Psi ')+{\frac {l_{1}}{p_{1}}}\sin(p_{1}t+\Lambda _{1}-\Psi ')\\+&{\frac {l_{2}}{p_{2}}}\sin(p_{2}t+\Lambda _{2}-\Psi ')+{\frac {l_{3}}{p_{3}}}\sin(p_{3}t+\Lambda _{3}-\Psi ')\end{aligned}}\right\}$

$+{\frac {1}{2}}(1-\lambda )\theta '\left[{\begin{aligned}&\ \ l\ \,\sin(pt\ \ +\Lambda \ \,-\Psi ')+l_{1}\sin(p_{1}t+\Lambda _{1}-\Psi ')\\+&l_{2}\sin(p_{2}t+\Lambda _{2}-\Psi ')+l_{3}\sin(p_{3}t+\Lambda _{3}-\Psi ')\end{aligned}}\right].$

Cette partie de $\delta v$ est peu sensible, et l’on peut n’y avoir égard que relativement au quatrième satellite. Elle doit être modifiée relativement aux autres satellites, en vertu des termes dépendants du carré de la force perturbatrice.

Si l’on transporte cette expression à la Lune, où l’on a vu que $\lambda =1-{\frac {(0)}{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}},$ et relativement à laquelle $p$ est à très-peu près égal à ${\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}},$ on a

$\partial v=-{\frac {19}{2}}(0){\frac {\theta 'l}{p}}\sin(v+pt-\Psi '),$

équation qui coïncide avec sa correspondante, trouvée dans le n^o 29 du Livre VII, en supposant dans celle-ci l’obliquité de l’écliptique très-petite.