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Dans la théorie de la Lune, ${\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}$ est incomparablement plus grand que $(0)\,;$ on a ainsi, à très-peu près.

$\lambda =1-{\frac {(0)}{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}},$

en sorte que $\lambda$ diffère très-peu de l’unité, ce qui réduit l’expression précédente de l’équation séculaire au seul terme $-2{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}{\rm {H}}_{1}ct^{2}.$ En substituant ${\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n}}$ au lieu de ${\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}},$ elle devient $-{\frac {3}{2}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n}}{\rm {H}}_{1}ct^{2},$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons trouvé dans le n^o 23 du Livre VII.

Après les termes que nous venons de considérer et qui doivent à la longue devenir très-sensibles, les plus grands sont ceux qui dépendent des produits de $\theta 'l;\theta 'l',\ldots \,;$ car on verra, dans la suite, que $l,l',\ldots$ sont de petites quantités, dont on peut négliger ici les carrés sans erreur sensible. Considérons, cela posé, le terme

$2{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\left[\gamma ^{2}-2\gamma \gamma _{1}\cos({\text{⅂}}_{1}-{\text{⅂}})+\gamma _{1}^{2}\right]$

de l’expression de ${\frac {d\delta v}{dt}}.$ Il est facile de s’assurer que

${\frac {1}{2}}\left[\gamma ^{2}-2\gamma \gamma _{1}\cos({\text{⅂}}_{1}-{\text{⅂}})+\gamma _{1}^{2}\right]$

est égal à la partie indépendante de $v$ dans le carré de l’expression de la latitude de $m$ sur le plan de l’orbite de Jupiter. Nous avons donné cette expression dans le n^o 10 ; en développant son carré en sinus et cosinus de $v$ et de ses multiples, et négligeant les carrés et les produits de $l$ et de $l',$ on trouve, pour le double de la partie indépendante de ces sinus et cosinus,

$(1-\lambda )^{2}\theta '^{2}+2(\lambda -1)\theta '$

$\times \left[{\begin{aligned}&l\cos(pt\quad +\Lambda \ -\Psi ')+l_{1}\cos(p_{1}t+\Lambda _{1}-\Psi ')\\+&l_{2}\cos(p_{2}t+\Lambda _{2}-\Psi ')+l_{3}\cos(p_{3}t+\Lambda _{3}-\Psi ')\end{aligned}}\right]\,;$

le terme précédent de ${\frac {d\delta v}{dt}}$ produit donc le suivant

$4(\lambda -1){\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\theta '\left[{\begin{aligned}&l\cos(pt\quad +\Lambda \ -\Psi ')+l_{1}\cos(p_{1}t+\Lambda _{1}-\Psi ')\\+&l_{2}\cos(p_{2}t+\Lambda _{2}-\Psi ')+l_{3}\cos(p_{3}t+\Lambda _{3}-\Psi ')\end{aligned}}\right]\,;$