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13. Les termes les plus considérables de l’expression de l’équation séculaire de $m$ sont relatifs aux variations séculaires de l’équateur et de l’orbite de Jupiter ; ils sont analogues à ceux d’où résulte l’équation séculaire de la Lune, que nous avons développée dans le Livre VII. Pour les obtenir, il faut substituer, dans l’expression précédente de ${\frac {d\delta v}{dt}},$ les valeurs de $\gamma \sin {\text{⅂}},\gamma \cos {\text{⅂}},\Psi ,\theta ,$$\gamma _{1}\sin {\text{⅂}}_{1},\ldots ,$ trouvées dans le n^o 10. On aura ainsi, en négligeant les termes constants, et supposant que l’excentricité ${\rm {H}}$ de l’orbite de Jupiter, développée en série, est égale à ${\rm {H}}_{1}+ct+\ldots ,\ {\rm {H_{1}}}$ étant la valeur de ${\rm {H}}$ à l’origine du temps $t$,

${\begin{aligned}{\frac {d\delta v}{dt}}=&4{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}(1-\lambda )^{2}.\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt-6(0)\lambda ^{2}.\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt\\&+(1-\lambda )\lambda \left[(0)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}+(0,\ 1)+(0,\ 2)+(0,\ 3)\right].\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt\\&-{\frac {1}{2}}\lambda (0).\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt-{\frac {1}{2}}(1-\lambda ){\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}.\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt\\&+{\frac {1}{2}}(0,\ 1)\left[(\lambda -1)\lambda '+(\lambda '-1)\lambda \right].\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt\\&+{\frac {1}{2}}(0,\ 2)\left[(\lambda -1)\lambda ''+(\lambda ''-1)\lambda \right].\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt\\&+{\frac {1}{2}}(0,\ 3)\left[(\lambda -1)\lambda '''+(\lambda '''-1)\lambda \right].\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt-4{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}{\rm {H}}_{1}ct,\end{aligned}}$

d’où il est facile de conclure, au moyen des équations entr\e $\lambda ,\lambda ',\lambda '',\lambda ''',$ données dans le n^o 10\,

${\frac {d\delta v}{dt}}=4(1-\lambda )^{2}{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}.\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt-6(0)\lambda ^{2}.\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt-4{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}{\rm {H}}_{1}ct,$

ce qui produit, dans $\delta v$ ou dans le mouvement du satellite $m,$ l’équation séculaire

$2(1-\lambda )^{2}{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}.\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt^{2}-3(0)\lambda ^{2}.\sideset {^{1}}{}{\rm {L}}bt^{2}-2{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}{\rm {H}}_{1}ct^{2}.$

Nous observerons ici que, relativement aux trois premiers satellites, les rapports qui existent entre leurs moyens mouvements changent considérablement leurs inégalités séculaires, comme on le verra dans la suite.

Lorsqu’il n’y a qu’un satellite, on a, par le n^o 10,

$\lambda ={\frac {\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}{{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}+(0)}}.$