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incomparablement plus petites que ${\frac {de}{dt}}$ et ${\frac {d\varpi }{dt}},$

${\frac {2rd\partial r+dr\partial r}{a^{2}ndt}}={\frac {1}{2}}t\left[e\cos \varpi {\frac {d(e\sin \varpi )}{dt}}-e\sin \varpi {\frac {d(e\cos \varpi )}{dt}}\right].$

En différenciant, et négligeant les différences et les produits des quantités ${\frac {de}{dt}}$ et ${\frac {d\varpi }{dt}},$ on aura

${\frac {d(2rd\partial r+dr\partial r}{a^{2}ndt^{2}}}={\frac {1}{2}}\left[e\cos \varpi {\frac {d(e\sin \varpi )}{dt}}-e\sin \varpi {\frac {d(e\cos \varpi )}{dt}}\right].$

En substituant, au lieu de ${\frac {d(e\sin \varpi )}{dt}}$ et de ${\frac {d(e\cos \varpi )}{dt}},$ leurs valeurs précédentes, on aura

${\begin{aligned}&{\frac {d(2rd\partial r+dr\partial r}{a^{2}ndt^{2}}}={\frac {1}{2}}\left[(0)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}+(0,\ 1)+(0,\ 2)+(0,\ 3)\right]e^{2}\\&\qquad \qquad -{\frac {1}{2}}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}ee'\cos(\varpi '-\varpi )-{\frac {1}{2}}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}ee''\cos(\varpi ''-\varpi )\\&\qquad \qquad -{\frac {1}{2}}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 3\\\hline \end{array}}ee'''\cos(\varpi '''-\varpi ).\end{aligned}}$

Le terme $\int \operatorname {d} {\rm {R}}$ est nul, par ce qui précède ; il résulte du n^o 5 du Livre VI qu’en ne considérant que l’action de $m'$ sur $m$, et faisant $\mu =1,$ la partie constante de ${\frac {2an}{\mu }}r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}$ qui est multipliée par les carrés et les produits des excentricités et des inclinaisons des orbites, est égale à

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2}}m'n\left(e^{2}+e'^{2}\right)\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}+2a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{4}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{3}}}\right)\\\\&-m'nee'\cos(\varpi '-\varpi )\left(2a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a^{2}}}+{\frac {1}{2}}a^{4}{\frac {\partial ^{3}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a^{3}}}\right)\\\\&+{\frac {m'n}{4}}\left(a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}+a^{3}a'{\frac {\partial {\rm {B^{(1)}}}}{\partial a}}\right)\left[\gamma _{1}^{'2}-2\gamma '_{1}\gamma _{1}\cos({\text{⅂}}'_{1}-{\text{⅂}}_{1})+\gamma _{1}^{2}\right].\end{aligned}}$

L’action des satellites $m''$ et $m'''$ produit des termes ana\logues. L’action du Soleil produit dans ${\frac {2an}{\mu }}r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}$ le terme

$-2{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\left[e^{2}+{\rm {H}}^{2}-\gamma _{1}^{2}+2\gamma _{1}\gamma \cos({\text{⅂}}_{1}-{\text{⅂}})-\gamma ^{2}\right].$

Enfin, la partie de ${\frac {2an}{\mu }}r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}},$ dépendante de l’ellipticité de Jupiter,