Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/88

différentielle (3) du n^o 2 ; elle devient, relativement au second satellite,

$0={\frac {d^{2}s'}{dv'^{2}}}+s'-a'{\frac {ds'}{dv'}}{\frac {\partial {\rm {R'}}}{\partial v'}}+a'{\frac {\partial {\rm {R'}}}{\partial s'}},$

${\rm {R'}}$ étant ce que devient ${\rm {R}}$ relativement à ce satellite. Les termes de cette équation différentielle qui dépendent de l’angle $2v-3v'$ acquièrent un petit diviseur, parce que, $v$ étant très-peu différent de $2v',$ le coefficient de $v'$ dans l’angle $2v-3v'$ diffère très-peu de l’unité ; il importe donc de considérer ces termes. En n’ayant égard qu’à eux seuls, il est facile de voir, par le n^o 9, que l’équation différentielle précédente devient

$0={\frac {d^{2}s'}{dv'^{2}}}+{\rm {N}}_{1}^{'2}s'$

$-\left[a'{\rm {A}}^{(2)}+{\frac {1}{4}}a'^{2}a\left({\rm {B}}^{(1)}+{\rm {B}}^{(3)}\right)\right]ml'\sin \left(2v-3v'-{\frac {p}{n'}}v'-\Lambda \right)$

$+{\frac {1}{2}}a'^{2}a{\rm {B}}^{(3)}ml\sin \left(2v-3v'-{\frac {p}{n'}}v'-\Lambda \right),$

${\rm {N_{1}^{'2}}}$ étant ce que devient ${\rm {N_{1}^{2}}}$ relativement à $m',$ et les valeurs de ${\rm {A}}^{(2)},$ ${\rm {B}}^{(1)},{\rm {B}}^{(2)},\ldots$ étant les mêmes pour ${\rm {R'}}$ que pour ${\rm {R.}}$ On aura donc, par le n^o 49 du Livre II,

$0={\frac {d^{2}s'}{dv'^{2}}}+{\rm {N}}_{1}^{'2}s'$

$+\left\{{\begin{aligned}&\left(b_{\frac {1}{2}}^{(2)}-{\frac {\alpha }{4}}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}-{\frac {\alpha }{4}}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}\right)\\\\&\qquad +{\frac {1}{2}}\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(3)}ml\end{aligned}}\right\}\sin \left({\frac {2n}{n'}}v'-3v'-{\frac {p}{n'}}v'-\Lambda \right).$

On a, par le numéro cité,

$b_{\frac {1}{2}}^{(2)}-{\frac {\alpha }{4}}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}-{\frac {\alpha }{4}}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}=-{\frac {1}{2}}\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(3)},$

ce qui donne

$0={\frac {d^{2}s'}{dv'^{2}}}+{\rm {N}}_{1}^{'2}s'+{\frac {1}{2}}\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(3)}m(l-l')\sin \left({\frac {2n}{n'}}v'-3v'-{\frac {p}{n'}}v'-\Lambda \right).$

d’où l’on tire, en intégrant,

$s'={\frac {m\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(3)}(l-l')\sin \left({\frac {2n}{n'}}v'-3v'-{\frac {p}{n'}}v'-\Lambda \right)}{4\left({\frac {2n}{n'}}-3-{\frac {p}{n}}-{\rm {N'_{1}}}\right)}}.$