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Le terme ${\frac {r^{2}}{h^{2}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}$ de l’équation différentielle (3) du n^o 2 donne les suivants,

$m'a^{2}a'\left[{\frac {1}{2}}s\left({\rm {B}}^{(5)}+{\rm {B}}^{(3)}\right)\cos(4v-4v')-{\rm {B}}^{(3)}s'\cos(3v-3v')\right],$

d’où résulte dans l’équation (3) le terme

${\frac {1}{2}}m'a^{2}a'\left[{\rm {B}}^{(3)}l'-{\frac {1}{2}}\left({\rm {B}}^{(5)}+{\rm {B}}^{(3)}\right)l\right]\sin \left(3v-{\frac {4n'}{n}}v-{\frac {p}{n}}v-\Lambda \right).$

Cette équation devient ainsi, en n’ayant égard qu’aux termes dépendants de l’angle $3v-4v',$

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+N_{1}^{2}s$

$+m'\left\{{\begin{aligned}&\left[2a{\rm {A}}^{(4)}-{\frac {1}{4}}a^{2}a'\left({\rm {B}}^{(5)}+{\rm {B}}^{(3)}\right)\right]l\\&\qquad +{\frac {1}{2}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(3)}l'\end{aligned}}\right\}\sin \left(3v-{\frac {4n'}{n}}v-{\frac {p}{n}}v-\Lambda \right),$

$N_{1}^{2}$ étant, par le n^o 9, égal à

$1+2{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}+{\frac {3}{2}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sum m'a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}.$

On a, par le n^o 49 du Livre II,

$2a{\rm {A}}^{(4)}-{\frac {1}{4}}a^{2}a'\left({\rm {B}}^{(5)}+{\rm {B}}^{(3)}\right)=-2\alpha b_{\frac {1}{2}}^{(4)}-{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(5)}-{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}\,;$

la formule (a) du même numéro donne

$b_{\frac {3}{2}}^{(5)}={\frac {8\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{\frac {3}{2}}^{(4)}-9\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(3)}}{7\alpha }},$

et l’on a, par le même numéro,

$b_{\frac {1}{2}}^{(4)}={\frac {2\alpha b_{\frac {3}{2}}^{(3)}-\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{\frac {3}{2}}^{(4)}}{7}},$

d’où l’on tire

$-2\alpha b_{\frac {1}{2}}^{(4)}-{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(5)}-{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}=-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}\,;$

l’équation différentielle précédente devient ainsi

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+N_{1}^{2}s+{\frac {m'}{2}}\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(3)}(l'-l)\sin \left(3v-{\frac {4n'}{n}}v-{\frac {p}{n}}v-\Lambda \right),$