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Pour intégrer cette équation, supposons

${\begin{aligned}s\ \ =&l\ \ \sin(v\ \ \ +pt+\Lambda ),\\s'\ =&l'\ \sin(v'\,\ +pt+\Lambda ),\\s''\,=&l''\,\sin(v''\,+pt+\Lambda ),\\s'''=&l'''\sin(v'''+pt+\Lambda ),\\S'\ =&{\rm {L}}'\,\sin({\rm {U}}\ \,+pt+\Lambda ),\\s_{1}\ =&{\rm {L}}\ \ \sin(v\,\ \ +pt+\Lambda ).\end{aligned}}$

L’équation différentielle précédente donnera, en substituant dans $s,$ $s',\ldots ,{\frac {p}{n}}v$ au lieu de $pt,$ en comparant entre eux les coefficients de $\sin(v+pt+\Lambda ),$ et en négligeant le carré de $p,\ p$ étant une très-petite quantité de l’ordre des forces perturbatrices,

$0=l\left({\frac {p}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}-{\frac {1}{4}}\sum m'a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}\right)$

$+{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}{\rm {L}}+{\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}{\rm {L}}'+{\frac {1}{4}}\sum m'a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}l'.$

Si l’on fait, comme dans le n^o  49 du Livre II, ${\frac {a}{a'}}=\alpha ,$

${\frac {1}{\left(1-2\alpha \cos \theta +\alpha ^{2}\right)^{s}}}={\frac {1}{2}}b_{s}^{(0)}+b_{s}^{(1)}\cos \theta +b_{s}^{(2)}\cos 2\theta +\ldots ,$

on aura

$a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}=\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\,;$

or on a, par les n^os 55 et 59 du Livre II,

$(0,\ 1)=-{\frac {3m'n\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{4\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}={\frac {m'n\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}}{4}}\,;$

on aura donc

$0=l\left[p-(0)-{\begin{array}{|c|}\hline \ \ 0\ \ \\\hline \end{array}}-(0,\ 1)-(0,\ 2)-(0,\ 3)\right]$

$+(0){\rm {L}}+{\begin{array}{|c|}\hline \ \ 0\ \ \\\hline \end{array}}{\rm {L}}'+(0,\ 1)l'+(0,\ 2)l''+(0,\ 3)l'''.$