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L’analyse du n^o 68 du Livre II conduirait aux mêmes valeurs ; mais l’analyse précédente est un peu plus simple.

La partie elliptique de $v$ est $2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi )$ par le n^o 22 du Livre II ; en la désignant par $\delta v,$ on aura

$\delta v=2e\cos \varpi \sin(nt+\varepsilon )-2e\sin \varpi \cos(nt+\varepsilon ),$

ce qui donne

${\begin{aligned}\delta v=&-2h\ \sin(nt+\varepsilon -gt\ \ -\Gamma \,\ )-2h_{1}\sin(nt+\varepsilon -g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2h_{2}\sin(nt+\varepsilon -g_{2}t-\Gamma _{2})-2h_{3}\sin(nt+\varepsilon -g_{3}t-\Gamma _{3}).\end{aligned}}$

On aura de la même manière

${\begin{aligned}\delta v'=&-2{\text{ϐ}}'h\ \cos(n't+\varepsilon '-gt\ \ -\Gamma \,\ )-2{\text{ϐ}}'_{1}h_{1}\cos(n't+\varepsilon '-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2{\text{ϐ}}'_{2}h_{2}\cos(n't+\varepsilon '-g_{2}t-\Gamma _{2})-2{\text{ϐ}}'_{3}h_{3}\cos(n't+\varepsilon '-g_{3}t-\Gamma _{3}),\\\\\delta v''=&-2{\text{ϐ}}''h\ \cos(n''t+\varepsilon ''-gt\ \ -\Gamma \,\ )-2{\text{ϐ}}''_{1}h_{1}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2{\text{ϐ}}''_{2}h_{2}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{2}t-\Gamma _{2})-2{\text{ϐ}}''_{3}h_{3}\cos(n''t+\varepsilon ''-g_{3}t-\Gamma _{3}),\\\\\delta v'''=&-2{\text{ϐ}}'''h\ \cos(n'''t+\varepsilon '''-gt\ \ -\Gamma \,\ )-2{\text{ϐ}}'''_{1}h_{1}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{1}t-\Gamma _{1})\\&-2{\text{ϐ}}'''_{2}h_{2}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{2}t-\Gamma _{2})-2{\text{ϐ}}'''_{3}h_{3}\cos(n'''t+\varepsilon '''-g_{3}t-\Gamma _{3}),\end{aligned}}$

Tout se réduit donc à former et à résoudre les équations précédentes $(i),(i'),(i'',(i''').$ Mais nous verrons dans la suite qu’elles sont incomplètes, et que les rapports qui existent entre les moyens mouvements des trois premiers satellites leur ajoutent de nouveaux termes très-sensibles, quoique dépendants des carrés et des produits des forces perturbatrices.

7. Les termes de la double intégrale ${\frac {3a}{\mu }}\iint ndt\operatorname {d} {\rm {R}}$ de l’expression de $\delta v$ du n^o 2, qui dépendent de l’angle $nt-2n't+\varepsilon -2\varepsilon ',$ acquièrent par les intégrations le diviseur $(n-2n')^{2},$ et, $n$ étant fort peu différent de $2n',$ ce diviseur est très-petit et peut donner une valeur sensible à ces termes, quoique multipliés par les petites excentricités des orbites ; nous allons donc les déterminer.

Considérons le terme $m'{\rm {A}}^{(1)}(v'-v)$ de l’expression de ${\rm {R.}}$ En y