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par $(0)$ la fonction $\rho -{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}n,$ et par ${\begin{array}{|c|}\hline \ \ 0,\ \ \\\hline \end{array}}$ la fonction ${\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n}},$ on aura

$(i)\quad 0=h\left[g-(0)-{\begin{array}{|c|}\hline \ \ 0\ \ \\\hline \end{array}}-(0,\ 1)-(0,\ 2)-(0,\ 3)\right]$

$+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}h'+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}h''+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 3\\\hline \end{array}}h'''.$

Si l’on considère pareillement les perturbations des mouvements de $m',m''$ et $m''',$ il est visible qu’il en résultera une nouvelle équation semblable à la précédente, et qui s’en déduit en y changeant les quantités relatives à $m$ successivement dans celles qui sont relatives à $m',m''$ et $m''',$ et réciproquement. En écrivant donc dans les fonctions $(0),{\begin{array}{|c|}\hline \ \ 0,\ \ \\\hline \end{array}},$$(0,\ 1),{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}},\ldots ,$ au lieu de $0,$ le numéro du satellite troublé et les quantités qui lui sont relatives, et au lieu de $1,$ le numéro du satellite perturbateur et les quantités qui lui sont relatives, on formera les équations suivantes :

$(i')\quad 0=h'\ \left[g-(1)-{\begin{array}{|c|}\hline \ \ 1\ \ \\\hline \end{array}}-(1,\ 0)-(1,\ 2)-(1,\ 3)\right]$

$+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}h+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 2\\\hline \end{array}}h''+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 3\\\hline \end{array}}h''',$

$(i'')\quad 0=h''\,\left[g-(2)-{\begin{array}{|c|}\hline \ \ 2\ \ \\\hline \end{array}}-(2,\ 0)-(2,\ 1)-(2,\ 3)\right]$

$+{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}}h+{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 1\\\hline \end{array}}h'+{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 3\\\hline \end{array}}h''',$

$(i''')\quad 0=h'''\left[g-(3)-{\begin{array}{|c|}\hline \ \ 3\ \ \\\hline \end{array}}-(3,\ 0)-(3,\ 1)-(3,\ 2)\right]$

$+{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 0\\\hline \end{array}}h+{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 1\\\hline \end{array}}h'+{\begin{array}{|c|}\hline 3,\ 2\\\hline \end{array}}h''.$

On doit observer ici que l’on a, par le n^o 55 du Livre II,

$(0,\ 1).m{\sqrt {a}}=(1,\ 0).m'{\sqrt {a'}},$

et que la même équation subsiste en y changeant les parenthèses rondes en parenthèses carrées. Ces équations ont lieu entre les mêmes fonctions relatives à deux satellites quelconques, ce qui donne un moyen simple de dériver ces fonctions les unes des autres.

Les quatre équations précédentes entre $h,h',h''$ et $h'''$ sont ana\logues aux équations (B) du n^o 56 du Livre II, et se résolvent de la même manière. Elles donnent une équation finale en $g$ du quatrième degré. Soient $g,g_{1},g_{2},g_{3}$ ses quatre racines ; en faisant

$h'={\text{ϐ}}'h,\qquad h''={\text{ϐ}}''h,\qquad h'''={\text{ϐ}}'''h,$

on aura, au moyen des équations précédentes, ${\text{ϐ}}',{\text{ϐ}}'',{\text{ϐ}}'''$ en fonctions