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$g$ étant un coefficient très-petit de l’ordre des forces perturbatrices dont il dépend. En substituant ces valeurs dans l’équation différentielle précédente, et en ne conservant que les termes dépendants de $\cos(nt+\varepsilon -gt-\Gamma ),$ la comparaison de ces termes donnera, en négligeant le carré de $g,$

$0=h\left({\rm {N}}^{2}+2ng-n^{2}\right)$

$+\sum {\frac {m'n^{2}}{2}}h'\left(2aa'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}+a^{2}a'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a\partial a'}}+4a{\rm {A}}^{(1)}+2a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}\right).$

En substituant pour ${\rm {N^{2}}}$ sa valeur donnée par le n^o 3, on aura

${\begin{aligned}0=&h\left[{\frac {g}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sum m'\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{2}}}\right)\right]\\\\&+{\frac {1}{2}}\sum m'h\left(2a{\rm {A}}^{(1)}+a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}+aa'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}+{\frac {1}{2}}a^{2}a'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a\partial a'}}\right).\end{aligned}}$

${\rm {A}}^{(1)}$ étant une fonction homogène en $a$ et $a'$ de la dimension $-1,$ on a, par la nature de ces fonctions,

$a{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}+a'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}=-{\rm {A}}^{(1)}\,;$

l’équation précédente devient ainsi

${\begin{aligned}0=&h\left[{\frac {g}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {3}{4}}{\frac {\rm {M^{2}}}{n^{2}}}+{\frac {1}{2}}\sum m'\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(0)}}}}{\partial a^{2}}}\right)\right]\\\\&+{\frac {1}{2}}\sum m'h\left(a{\rm {A}}^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a^{2}}}\right).\end{aligned}}$

En faisant, comme dans le n^o 55 du Livre II,

${\begin{aligned}(0,\ 1)&=-{\frac {m'n}{2}}\left(a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right),\\\\{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}&={\frac {m'n}{2}}\left(a{\rm {A}}^{(1)}-a^{2}{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}$

en désignant ensuite par $(0,\ 2),{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}\,;\ (0,\ 3),{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 3\\\hline \end{array}},$ ce que deviennent $(0,\ 1),$ et ${\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}},$ lorsque l’on y change successivement ce qui est relatif à $m'$ dans ce qui est relatif à $m''$ et $m'''\,;$ enfin, en désignant