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en résulte la fonction

$m'{\frac {r'\delta r'}{a'}}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )$

$-{\frac {2m'd(r'\delta r')}{a'^{2}n'dt}}{\rm {A}}^{(1)}\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon ).$

$a'e'$ étant l’excentricité de l’orbite de $m',$ et $\varpi '$ étant la longitude de son périjove, la partie elliptique de ${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}$ est, par le n^o 22 du Livre II, $-e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi ').$ En la substituant dans la fonction précédente, il en résulte un terme dépendant du cosinus de l’angle $nt+\varepsilon '-\varpi ',$ et il est facile de s’assurer qu’il est le seul de ce genre qui résulte du développement de la partie de ${\rm {R}}$ dépendante de l’action de $m'.$ Les deux satellites $m''$ et $m'''$ fournissent dans ${\rm {R}}$ des termes ana\logues ; mais il est aisé de voir, par l’expression de ${\rm {R}}$ du n^o 1, que l’action du Soleil n’en produit point, du moins en négligeant les termes divisés par ${\rm {D'^{4}.}}$

Maintenant, si l’on n’a égard qu’aux termes dépendants de $nt,$ on a $\int \operatorname {d} {\rm {R=R\,;}}$ partant, en n’ayant égard qu’à ces termes, on a

$2\int \operatorname {d} {\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=\sum \left\{{\begin{aligned}&{\frac {m'r'\delta r'}{a'^{2}}}\left(2a'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}+aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a\partial a'}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {2m'd.r'\delta r'}{a'^{2}n'dt}}\left(2{\rm {A}}^{(1)}+a{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\end{aligned}}\right\}$

L’équation différentielle (1) du n^o 2 deviendra donc, en n’ayant égard qu’aux termes dans lesquels $r\delta r$ est multiplié par des constantes, et à ceux qui dépendent des sinus et cosinus de $nt$ en observant, de plus, que $n^{2}={\frac {1}{a^{3}}}$ à fort peu près,

$0={\frac {d^{2}.r\delta r}{a^{2}dt^{2}}}+{\rm {N}}^{2}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}+\sum \left\{{\begin{aligned}&m'n^{2}{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}\left(2aa'{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a'}}+a^{2}a'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A^{(1)}}}}{\partial a\partial a'}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-{\frac {2m'n^{2}d.r'\delta r'}{a'^{2}n'dt}}\left(2a{\rm {A}}^{(1)}+a^{2}{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times \sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\end{aligned}}\right\}$

La manière la plus simple d’intégrer cette équation différentielle est d’y supposer

${\frac {r\delta r}{a^{2}}}=h\cos(nt+\varepsilon -gt-\Gamma ),\quad {\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}=h'\cos(n't+\varepsilon '-gt-\Gamma ),\ldots ,$