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tion précédente se réduit à

$(s)\qquad \qquad \qquad \qquad u{\frac {d^{2}z}{du^{2}}}+{\frac {dz}{du}}-2\alpha uz-{\frac {2u}{b}}=0.$

Cette équation différentielle, quoique beaucoup plus simple que l’équation (r), ne paraît pas cependant intégrale par les méthodes connues ; mais je trouve que l’on y satisfait en faisant

$z={\frac {1}{\alpha b\pi }}\int d\varphi \left(c^{u{\sqrt {2\alpha }}\cos \varphi }-1\right),$

l’intégrale étant prise depuis $\varphi$ nul jusqu’à $\varphi$ égal à la demi-circonférence $\pi .$ En effet, on a alors

${\begin{aligned}{\frac {dz}{du}}=&{\frac {1}{\alpha b\pi }}\int d\varphi {\sqrt {2\alpha }}\cos \varphi .c^{u{\sqrt {2\alpha }}\cos \varphi },\\\\{\frac {d^{2}z}{du^{2}}}=&{\frac {1}{\alpha b\pi }}\int d\varphi .2\alpha \cos ^{2}\varphi .c^{u{\sqrt {2\alpha }}\cos \varphi }\,;\end{aligned}}$

le premier membre de l’équation (s) devient ainsi

${\frac {1}{\alpha b\pi }}\int d\varphi \left(2\alpha u\cos ^{2}\varphi +{\sqrt {2\alpha }}\cos \varphi -2\alpha u\right)c^{u{\sqrt {2\alpha }}\cos \varphi },$

et, en intégrant, il devient

${\frac {1}{\alpha b\pi }}{\sqrt {2\alpha }}\sin \varphi .c^{u{\sqrt {2\alpha }}\cos \varphi }+$const.

L’intégrale devant être prise depuis $\varphi =0,$ la constante est nulle. De plus, l’intégrale devant s’étendre depuis $\varphi =0$ jusqu’à $\varphi =\pi ,$ elle est encore nulle à cette seconde limite ; ainsi l’équation (s) est satisfaite. La valeur précédente de $z$ n’est pas l’intégrale complète de cette équation ; mais elle suffit dans le cas présent où $z$ et ${\frac {dz}{du}}$ sont nuls avec $u.$

$\cos \varphi$ est égal à $1-2\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi ,$ ce qui change l’expression de $z$ en celle-ci :

$z={\frac {c^{u{\sqrt {2\alpha }}}}{\alpha b\pi }}\int d\varphi c^{-2u{\sqrt {2\alpha }}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi }-{\frac {1}{\alpha b}},$