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Cette intégrale, prise depuis $\varpi =0,$ est égale à

$-{\frac {2{\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}}{3(l+y)}}\left(1-\cos ^{3}{\frac {1}{2}}\varpi \right)-{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\int {\frac {dy\left(1-\cos ^{3}{\frac {1}{2}}\varpi \right)}{(l+y)^{2}}}.$

L’élément de cette dernière intégrale n’est jamais infini ; car, quoique ${\frac {dy}{d\varpi }}$ devienne infini lorsque $\varpi$ est nul, puisqu’il est égal à $-{\frac {dz\cos \varpi }{d\varpi \sin \varpi }}$ ou $-{\frac {1}{2{\sqrt {2\alpha }}}}{\frac {\cos \varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }},$ cependant, comme il est multiplié dans l’intégrale précédente par $d\varpi \left(1-\cos ^{3}{\frac {1}{2}}\varpi \right),$ le coefficient de $d\varpi$dans ce produit n’est jamais infini. En négligeant les termes divisés par $(l+y)^{2}$ relativement aux termes divisés par $l+y,$ on aura

$-\int {\frac {dz\sin \varpi }{l+y}}=-{\frac {2{\sqrt {2}}\left(1-\cos ^{3}{\frac {1}{2}}\varpi \right)}{3(l+y){\sqrt {\alpha }}}}.$

L’intégrale doit être prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\pi -\varpi ',\ \varpi '$ étant l’angle que le côté extrême de la section génératrice forme avec la ligne menée sur la surface inférieure du disque jusqu’au centre de cette surface. En nommant donc $z'$ la valeur extrême de $z$ ou la hauteur entière de la colonne soulevée par le disque, l’équation (t) donnera

$\alpha z'^{2}=1+\cos \varpi '-{\frac {2{\sqrt {2}}\left(1-\sin ^{3}{\frac {1}{2}}\varpi '\right)}{3l{\sqrt {\alpha }}}},$

d’où l’on tire, à fort peu près,

$z'={\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\cos {\frac {1}{2}}\varpi '-{\frac {1-\sin ^{3}{\frac {1}{2}}\varpi '}{3l\alpha \cos {\frac {1}{2}}\varpi '}}.$

Pour avoir le volume entier de la colonne soulevée, il faut d’abord multiplier cette valeur de $z'$ par la surface inférieure du disque ou par $\pi l^{2},$ ajouter ensuite à ce produit le fluide qui environne le cylindre fluide dont la base supérieure est la surface inférieure du disque. Ce dernier volume est égal à l’intégrale $-2\pi \int (l+y)zdy,$ prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\pi -\varpi '\,;$ on aura ainsi, pour l’expression du volume