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partant,

$2\int \operatorname {d} {\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=-{\rm {R}}={\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{3r^{3}}}.$

En substituant $a^{2}+2r\delta r$ au lieu de $r^{2},$ on aura

$2\int \operatorname {d} {\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}={\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{3a^{3}}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{5}}}r\delta r.$

Si l’on ne considère que l’action du second satellite $m'$ et si l’on néglige les carrés et les produits de $s$ et de $s',$ on a

${\rm {R}}={\frac {m'r}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-{\frac {m'}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {1}{2}}}}.$

Supposons que cette fonction, développée en série de cosinus d’angles multiples de $v'-v,$ soit égale à

$m'\left[{\frac {1}{2}}{\rm {A}}^{(0)}+{\rm {A}}^{(1)}\cos(v'-v)+{\rm {A}}^{(2)}\cos 2(v'-v)+{\rm {A}}^{(3)}\cos 3(v'-v)+\ldots \right].$

En changeant, dans cette série, $r$ en $a,\ r'$ en $a',\ v$ dans $nt+\varepsilon ,$s et $v'$ dans $n't+\varepsilon ',\ nt$ et $n't$ étant les moyens mouvements de $m$ et de $m',$ on aura

$2\int \operatorname {d} {\rm {R}}={\frac {2k}{a}}+{\frac {2mm'}{n-n'}}\left\{{\begin{aligned}&{\rm {A}}^{(1)}\cos \ \ (n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&{\rm {A}}^{(2)}\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&{\rm {A}}^{(3)}\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},$

${\frac {k}{a}}$ étant une constante arbitraire ajoutée à l’intégrale $\int \operatorname {d} {\rm {R}}.$ On aura ensuite

$r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}=m'\left\{{\begin{aligned}{\frac {1}{2}}&a{\frac {\partial {\rm {A^{(0)}}}}{\partial a}}\\+&a{\frac {\partial {\rm {A^{(1)}}}}{\partial a}}\cos \ \ (n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&a{\frac {\partial {\rm {A^{(2)}}}}{\partial a}}\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&a{\frac {\partial {\rm {A^{(3)}}}}{\partial a}}\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}.$

On déterminera les valeurs de ${\rm {A^{(0)},A^{(1)},A^{(2)},\ldots }}$ et de leurs différences partielles en $a$ et $a'$ par les formules du n^o 49 du Livre II.