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depuis $s=0,$ et $c''$ étant sa valeur lorsque $s$ est infini. Cette intégrale, prise depuis $s=s$ jusqu’à $s$ infini, sera donc $\Gamma (s).$ On aura ainsi

$\int s^{2}ds\Pi (s)=s\Psi (s)+\Gamma (s).$

La triple intégrale précédente se réduit donc à la double intégrale

$\iint d\theta d\varpi \cos \varpi \left[s\Psi (s)+\Gamma (s)\right].$

Imaginons présentement une surface plane verticale infinie, passant par la ligne attirée et rencontrant perpendiculairement le plan solide attirant, et déterminons l’attraction verticale de ce plan sur cette surface. Il est clair qu’il faut multiplier la fonction précédente par $da$ et l’intégrer par rapport à $a,$ depuis $a=0$ jusqu’à $a$ infini ; or on a

$a=s\sin \theta \cos \varpi ,$

ce qui donne, en faisant $\theta$ et $\varpi$ constants,

$da=ds\sin \theta \cos \varpi .$

La double intégrale précédente, multipliée par cette expression de $da$ et ensuite intégrée par rapport à $s,$ deviendra donc

$\iiint dsd\theta d\varpi \sin \theta \cos ^{2}\varpi \left[s\Psi (s)+\Gamma (s)\right].$

L’intégrale devant être ici prise depuis $s=0$ jusqu’à $s$ infini, on a, dans ce cas,

$\int sds\Psi (s)=-s\Gamma (s)+\int ds\Gamma (s)=\int ds\Gamma (s),$

parce que, $s$ étant infini, $s\Gamma (s)$ est nul ; on a, de plus, par le n^o 1 de la théorie citée.

$\int sds\Psi (s)={\frac {\mathrm {H} }{2\pi }}.$

La triple intégrale précédente deviendra donc

${\frac {\mathrm {H} }{\pi }}d\varpi d\theta \sin \theta \cos ^{2}\varpi .$

L’intégrale relative à $\varpi$ doit être prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi$ égal à un