Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/476

On a vu, dans le n^o 12 de ma théorie sur l’action capillaire, que $\varpi$ est nul lorsque $\rho =\rho '\,;$ l’équation précédente donne, par conséquent,

$\rho '={\frac {1}{2}}\mathrm {H} .$

Ainsi, dans le cas général où $\rho$ diffère de $\rho ',$ on a

$2\rho -\rho '=\rho '\cos \varpi ,$

partant

$\rho =\rho '\cos ^{2}{\frac {1}{2}}\varpi .$

La connaissance de l’angle $\varpi$ donnera donc celle du rapport de $\rho$ à $\rho ',$ et réciproquement. On peut démontrer directement l’équation $\rho '={\frac {1}{2}}\mathrm {H}$ de la manière suivante.

Imaginons un plan vertical d’une épaisseur sensible et dont la base inférieure soit horizontale. Concevons, à la distance $a$ de ce plan, une ligne droite verticale infinie parallèle à ce plan, attirée par lui, et dont l’extrémité supérieure soit au niveau de la base inférieure du plan. Fixons à cette extrémité l’origine des coordonnées $x,y,z$ d’un point quelconque du plan solide, l’axe des $x$ étant sur la ligne $a$ de la plus courte distance de l’extrémité de la droite au plan et l’axe des $y$ étant horizontal comme l’axe des $x.$ En désignant par $z'$ l’abaissement au-dessous de l’origine des coordonnées d’un point quelconque de la ligne attirée, l’attraction verticale du plan solide sur ce point sera

$\iiint dxdydz{\frac {z+z'}{s}}\varphi (s),$

$\varphi (s)$ étant la loi de l’attraction à la distance $s$, et $s$ étant la distance d’un point attirant du plan au point attiré de la ligne, en sorte que l’on a

$s^{2}=x^{2}+y^{2}+(z+z')^{2}.$

Pour avoir l’attraction verticale du plan solide sur la ligne entière, il faut multiplier la triple intégrale précédente par $dz'$ et l’intégrer par rapport à $z',$ depuis $z'=0$ jusqu’à $z'$ infini. En désignant donc, comme dans le n^o 1 de ma théorie de l’action capillaire, par $c-\Pi (s)$ l’intégrale $\int ds\varphi (s)$ prise depuis $s=0,$ la constance $c$ étant l’intégrale entière