Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 4.djvu/47

$r$ étant égal à ${\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{u}},$ on a

$du=-{\frac {dr}{r^{2}}}{\sqrt {1+s^{2}}}+{\frac {sds}{r{\sqrt {1+s^{2}}}}}\,;$

on a donc, en comparant séparément, dans l’équation précédente, les coefficients de $ds,$

${\frac {us}{1+s^{2}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial u}}+{\frac {\partial '{\rm {R}}}{\partial s}}={\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}\,;$

l’équation différentielle en $s$ devient ainsi

$0=\left({\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\right)\left(1-{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)-{\frac {1}{h^{2}u^{2}}}{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}+{\frac {r^{2}}{h^{2}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}.$

Si la force perturbatrice est nulle, on a

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\,;$

en négligeant donc le carré de cette force, en restituant ${\frac {\sqrt {1+s^{2}}}{r}}$ au lieu de $u,$ et en négligeant le produit de la force perturbatrice par $s^{2}{\frac {ds}{dv}},$ on aura

(3)

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s+{\frac {r^{2}}{h^{2}}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial s}}-{\frac {r^{2}}{h^{2}}}{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}.$

Les équations (1), (2) et (3) donnent, de la manière la plus simple, toutes les perturbations des satellites qui ne dépendent que de la première puissance de la force perturbatrice.