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rapport à $dx$ et $dy,$ en observant de plus que la fonction multipliée par ${\frac {1}{2}}\mathrm {H}$ peut être mise sous la forme

${\frac {\partial {\cfrac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\cfrac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}{\partial y}},$

on aura

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} \iint dxdy\left({\frac {\partial {\cfrac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\cfrac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}{\partial y}}\right)=g\mathrm {D} \iint (h+z)dxdy.$

Les doubles intégrales doivent être prises dans toute l’étendue de la section intérieure horizontale du prisme ; la double intégrale $g\mathrm {D} \iint (h+z)dxdy$ est donc le poids du fluide élevé par l’action capillaire au-dessus du niveau. Ainsi, en nommant $\mathrm {V}$ le volume de ce fluide, on aura

$g\mathrm {D} \iint dxdy(h+z)=g\mathrm {DV} .$

La double intégrale

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} \iint dxdy{\frac {\partial {\cfrac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}{\partial x}}$

devient, en l’intégrant par rapport à $x,$

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} \int dy\left[{\frac {p}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}-{\frac {(p)}{\sqrt {1+(p)^{2}+(q)^{2}}}}\right],$

$(p)$ et $(q)$ étant ce que deviennent $p$ et $q$ à l’origine de l’intégrale. Pareillement, la double intégrale

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} \iint dxdy{\frac {\partial {\cfrac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}}{\partial y}}$

devient, en l’intégrant par rapport à $y,$

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} \int dx\left[{\frac {q}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}}-{\frac {(q)}{\sqrt {1+(p)^{2}+(q)^{2}}}}\right].$

Pour avoir une idée précise de ces intégrales et de leurs limites, nous