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ce qui est conforme à ce que l’on a vu dans le n^o 3 de ma théorie sur l’action capillaire. Cette expression est relative aux corps terminés par des surfaces convexes ; lorsqu’elles sont concaves, ou convexes dans un sens et concaves dans l’autre, il faut supposer négatif le rayon de courbure relatif à la concavité.

Considérons maintenant un fluide renfermé dans un tube capillaire et pri\sinatique plongeant verticalement par son extrémité inférieure dans un vase d’une étendue indéfinie, et supposons la surface du fluide concave. Rapportons un point quelconque de cette surface à trois coordonnées orthogonales $x,y,z,$ dont les deux premières soient horizontales et dont la troisième soit verticale et nulle relativement au point le plus bas de cette surface. Nommons $h$ l’élévation de ce dernier point au-dessus du niveau du fluide du vase. Si l’on imagine un canal infiniment étroit passant par un point quelconque de la surface, se recourbant sous le tube et aboutissant à la surface de niveau du fluide du vase, $h+z$ sera la hauteur du point au-dessus du niveau ; en nommant donc $\mathrm {D}$ la densité du fluide, la condition de son équilibre dans le canal donnera l’équation

$g\mathrm {D} (h+z)={\frac {1}{2}}\mathrm {H\left({\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R'}}\right)} .$

Mais, si l’on fait ${\frac {\partial z}{\partial x}}=p\ {\frac {\partial z}{\partial y}}=q,$ on a, par la théorie des surfaces courbes,

$\mathrm {{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R'}}} ={\frac {\left(1+q^{2}\right){\frac {\partial p}{\partial x}}-pq\left({\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)+\left(1+p^{2}\right){\frac {\partial q}{\partial y}}}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\,;$

on aura donc

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} {\frac {\left(1+q^{2}\right){\frac {\partial p}{\partial x}}-pq\left({\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial q}{\partial x}}\right)+\left(1+p^{2}\right){\frac {\partial q}{\partial y}}}{\left(1+p^{2}+q^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}}=g\mathrm {D} (h+z),$

équation qui est visiblement la même que l’équation (a) du n^o 4 de la théorie citée.

En multipliant cette équation par $dxdy$ et en l’intégrant ensuite par