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de ces produits, égalée à zéro, donnera l’équation

$0={\frac {1}{2}}\mathrm {H} \left({\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}}dx+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}}dy+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}dy\right)-gdu.$

On a, par le n^o 4 de la théorie de l’action capillaire, au point $\mathrm {O}$, où ${\frac {\partial z}{\partial x}}$ et ${\frac {\partial z}{\partial y}}$ sont nuls,

${\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}}dx+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}}dy+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}}dx+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}dy=d\left(\mathrm {{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R'}}} \right),$

$\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ étant le plus grand et le plus petit des rayons osculateurs à ce point ; on aura donc

$d\left(\mathrm {{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{R'}}} \right)-{\frac {2g}{\mathrm {H} }}du=0,$

équation qui est évidemment la différentielle de l’équation fondamentale du n^o 4 de ma théorie de l’action capillaire.

On peut déterminer de la même manière l’action perpendiculaire à la surface. Cette action dépend de la partie $\mathrm {A} x^{2}+\lambda xy+\mathrm {B} y^{2}$ de l’expression de $z.$ Soit $r$ la distance d’un point quelconque de l’axe des $z,$ situé au dedans du solide, à l’origine des $z,$ et $f$ la distance de ce point à une molécule de l’intérieur du corps, dont les coordonnées sont $x,y,z.$ On aura

$f^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}\,;$

l’élément du solide sera $sdsd\theta dz,\ s$ étant l’hypoténuse du triangle rec\operatorname{tang}le dont $x$ et $y$ sont les côtés, et par conséquent étant égal à ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,;\ \theta$ est l’angle que $s$ forme avec l’axe des $x$. Représentons, comme ci-dessus, par $\varphi (f)$ la loi de l’attraction. L’attraction de l’élément solide sur le point dont il s’agit, décomposée suivant l’axe des $z$, sera

$sdsd\theta dz{\frac {z-r}{f}}\varphi (f).$

Nommons encore, comme précédemment, $c-\Pi (f)$ l’intégrale $\int df\varphi (f),$ prise depuis $f=0.$ La différentielle précédente pourra être mise sous