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$\int fdf\Psi (f)$ prise depuis $f$ nul jusqu’à $f$ infini, on aura

$\int f^{4}df\varphi (f)=8\int fdf\Psi (f)={\frac {4\mathrm {H} }{\pi }},$

Les deux forces tangentielles précédentes parallèles aux axes des $x$ et des $y$ deviendront ainsi

$\mathrm {(3C+E)H,\qquad (3F+D)H} .$

Maintenant, si l’on observe que, l’axe des $z$ étant perpendiculaire à la surface, on a, au point $\mathrm {O}$,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=0,\qquad {\frac {\partial z}{\partial y}}=0,$

l’expression de $z$ développée dans une série ordonnée par rapport aux puissances et aux produits de $x$ et de $y$ sera, par les théorèmes connus,

${\begin{aligned}z=&{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\partial y}}xy+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}{\frac {y^{2}}{2}}\\+&{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}}{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}}{\frac {x^{2}y}{2}}+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}}{\frac {xy^{2}}{2}}+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}{\frac {y^{3}}{6}}+\ldots ,\end{aligned}}$

ce qui donne

$\mathrm {C} ={\frac {1}{6}}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}},\quad \mathrm {D} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}},\quad \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}},\quad \mathrm {F} ={\frac {1}{6}}{\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}.$

Les forces tangentielles précédentes deviendront, par conséquent.

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} \left({\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x\partial y^{2}}}\right),\qquad {\frac {1}{2}}\mathrm {H} \left({\frac {\partial ^{3}z}{\partial y^{3}}}+{\frac {\partial ^{3}z}{\partial x^{2}\partial y}}\right).$

Nommons $g$ la pesanteur et $-du$ l’élément de sa direction. La condition de la perpendicularité des forces à la surface ou, ce qui revient au même, de la résultante des forces tangentielles nulle se réduit, comme on l’a vu dans le Livre 1^er de la Mécanique céleste, à ce que la somme des produits de chaque force par l’élément de sa direction soit nulle. En multipliant donc par $dx$ la force parallèle à l’axe des $x,$ par $dy$ la force parallèle à l’axe des $y$ et la pesanteur $g$ par $-du,$ la somme