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solide qui n’est que la différence de la masse entière au paraboloïde osculateur. Pour déterminer la force tangentielle due à l’attraction de ce solide différentiel sur le point $\mathrm {O}$, nommons $f$ la distance d’un des éléments de ce solide à ce point. Nommons encore $\theta$ l’angle que cette droite forme avec l’axe des $x$. Les attractions sur le point n’étant sensibles que dans un très-petit espace, on peut considérer ici les trois droites $x,y$ et $f$ comme étant dans un même plan tangent à la surface au point $\mathrm {O}$, et l’on peut négliger les puissances et les produits de $x$ et de $y$ supérieurs au troisième ordre. On aura ainsi, pour l’élément du solide différentiel,

$fdfd\theta \left(\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{2}y+\mathrm {E} xy^{2}+\mathrm {F} y^{3}\right).$

Si l’on désigne la loi de l’attraction par $\varphi (f),$ l’attraction de cet élément sur le point $\mathrm {O}$, décomposée parallèlement à l’axe des $x,$ sera

$fdf\varphi (f)d\theta \cos \theta \left(\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{2}y+\mathrm {E} xy^{2}+\mathrm {F} y^{3}\right),$

et parallèlement à l’axe des $y$ elle sera

$fdf\varphi (f)d\theta \sin \theta \left(\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{2}y+\mathrm {E} xy^{2}+\mathrm {F} y^{3}\right).$

On aura de plus

$x=f\cos \theta ,\qquad y=f\sin \theta \,;$

la force tangentielle du point $\mathrm {O}$, due à l’attraction de la masse fluide, sera donc, parallèlement aux $x,$

$\iint f^{4}df\varphi (f)d\theta \left(\mathrm {C} \cos ^{4}\theta +\mathrm {D} \cos ^{3}\theta \sin \theta +\mathrm {E} \cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta +\mathrm {F} \cos \theta \sin ^{3}\theta \right),$

et parallèlement aux $y$ elle sera

$\iint f^{4}df\varphi (f)d\theta \left(\mathrm {C} \cos ^{3}\theta \sin \theta +\mathrm {D} \cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta +\mathrm {E} \cos \theta \sin ^{3}\theta +\mathrm {F} \sin ^{4}\theta \right).$

Les intégrales relatives à $\theta$ doivent être prises depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta =2\pi ,\ \pi$ étant la demi-circonférence dont le ravon est l’unité ; les deux intégrales précédentes deviennent

${\begin{aligned}&{\frac {\pi }{4}}(3\mathrm {C+E} )\int f^{4}df\varphi (f),\\&{\frac {\pi }{4}}(3\mathrm {F+D} )\int f^{4}df\varphi (f).\end{aligned}}$