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libre de toute la masse fluide, comme on l’a vu dans le Livre 1^er de la Mécanique céleste. Les équations conclues soit de l’équilibre des canaux, soit de la perpendicularité de la force à la surface, doivent donc être identiques, ou du moins la différentielle l’une de l’autre, et il est facile de voir que la seconde est une différentielle de la première. Car l’équation donnée par l’équilibre des canaux ne renferme que des différences du second ordre, au lieu que, la force tangentielle à une surface capillaire étant produite, ainsi qu’on l’a vu dans le n^o 4 de la théorie citée, par la pesanteur décomposée parallèlement à cette surface et par l’attraction de la différence de la masse fluide à celle de l’ellipsoïde osculateur, différence qui dépend des différences du troisième ordre, l’équation résultante de la condition de la force tangentielle nulle ou, ce qui revient au même, de la perpendicularité des forces à la surface renferme des différences du troisième ordre, et, par conséquent, elle est la différentielle de l’équation donnée par l’équilibre des canaux. Mais il est intéressant de s’en assurer a posteriori. C’est ce que je vais faire ici, et il en résultera une confirmation de l’équation fondamentale de ma théorie et un moyen simple d’y parvenir.

Prenons pour origine des coordonnées un point quelconque de la surface, que nous désignerons par $\mathrm {O} ,$ et pour axe des $z$ la perpendiculaire à la surface à ce point. La valeur de $z$ donnée par l’équation à la surface et développée suivant les puissances et les produits des deux autres coordonnées rec\operatorname{tang}ulaires $x$ et $y$ sera de cette forme :

$z=\mathrm {A} x^{2}+\lambda xy+\mathrm {B} y^{2}+\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{2}y+\mathrm {E} xy^{2}+\mathrm {F} y^{3}+\ldots .$

Les trois premiers termes de cette expression de $z$ sont relatifs à l’ellipsoïde osculateur de la surface ou, plus exactement, au paraboloïde osculateur ; or l’attraction de ce solide sur le point est évidemment dirigée suivant l’axe de $z,$ puisque le solide est symétrique des côtés opposés autour de cet axe ; la force tangentielle du point $\mathrm {O}$, due à l’action de la masse entière, ne peut donc résulter que de l’attraction du solide dont l’équation de la surface est

$z=\mathrm {C} x^{3}+\mathrm {D} x^{2}y+\mathrm {E} xy^{2}+\mathrm {F} y^{3}+\ldots ,$